הצגת המקור של הדף "משפט ודרברן-ארטין"

ב[[אלגברה מופשטת|אלגברה]], '''משפט ודרברן-ארטין''' הוא משפט מרכזי בתורת המבנה של [[חוג ארטיני|חוגים ארטיניים]], ובפרט של [[אלגברה (מבנה אלגברי)|אלגברות]] מממד סופי. המשפט קרוי על שם [[ג'וזף ודרברן]], שהוכיח אותו לאלגברות מממד סופי, ו[[אמיל ארטין]] שהראה שהוא תקף גם בממד אינסופי אם מתקיים [[תנאי השרשרת היורדת]]. 

כל [[חוג מטריצות]] <math>\ \operatorname{M}_n(D)</math> מעל [[חוג עם חילוק]] D הוא [[חוג פשוט|פשוט]] וארטיני (כמודול שמאלי מעל עצמו). משפט ודרברן-ארטין קובע שגם ההפך נכון: כל [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] פשוט ארטיני, [[איזומורפיזם|איזומורפי]] ל[[חוג מטריצות]] מעל [[חוג עם חילוק]] D. יתרה מזו, החוג D וממד המטריצות נקבעים באופן יחיד על ידי החוג הנתון. למעשה, כל חוג ראשוני ארטיני איזומורפי למטריצות מעל חוג עם חילוק.

הטענה מתבססת על '''משפט הצפיפות של ג'ייקובסון'''. אומרים כי [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]] מעל חוג הוא '''פריק לחלוטין''' אם לכל תת-מודול נתון שלו יש '''משלים''' (תת מודול נוסף, שחיתוכו עם תת-המודול הנתון הוא אפס וסכומם שווה למודול המקורי). אם M מודול שמאלי מעל חוג R, אז אפשר לראות את M כמודול ימני מעל [[חוג האנדומורפיזמים]] <math>D = \operatorname{End}({}_RM)</math>, ויש [[הומומורפיזם]] מ-R אל חוג האנדומורפיזמים המתקבל, <math>\ \hat{R} = \operatorname{End}(M_D)</math>. 
משפט הצפיפות קובע שאם M מודול פריק לחלוטין, אז תמונה זו של R בתוך <math>\ \hat{R}</math> היא צפופה: לכל מספר סופי של איברים במודול ולכל [[אנדומורפיזם]], קיים אנדומורפיזם מתוך התמונה שפועל באותו אופן על אותם האיברים.

הרעיון העומד מאחורי משפט ודרברן-ארטין הוא שלחוג ארטיני יש אידיאל מינימלי, כלומר מודול (שמאלי) פשוט של החוג. מן הראשוניות אפשר להוכיח שמודול זה הוא גם נאמן, ולכן החוג הוא למעשה [[חוג פרימיטיבי|פרימיטיבי]]. חוג האנדומורפיזמים של האידיאל המינימלי הוא חוג עם חילוק (לפי [[הלמה של שור]]), והחוג המקורי אינו אלא מטריצות מעליו, דבר שנובע ממשפט הצפיפות בשילוב עם תכונת הארטיניות.

[[קטגוריה:משפטי מיון]]
[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה|ודרברן-ארטין]]