הצגת המקור של הדף "משפט ליוביל (אלגברה דיפרנציאלית)"

'''משפט ליוביל''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[אלגברה דיפרנציאלית]], הקובע [[תנאי הכרחי ומספיק]] לקיומה של [[פונקציה קדומה]] [[פונקציה אלמנטרית|אלמנטרית]] לפונקציה נתונה. את המשפט הוכיח [[ז'וזף ליוביל]] ב-[[1835]].

מהמשפט עולות דוגמאות מפורסמות ל[[אינטגרל לא מסוים|אינטגרלים לא מסוימים]] שאינם פונקציות אלמנטריות, כגון [[פונקציית השגיאה]] <math>\int e^{-x^2}\ dx</math>, [[פונקציית האינטגרל הלוגריתמי|האינטגרל הלוגריתמי ההפוך]] <math>\ \int \frac{1}{\ln x}\ dx</math> (המוכר מ[[משפט המספרים הראשוניים]]) ו-<math>\ \int \frac{\sin x}{x}\ dx</math>.

==רקע==
[[פונקציה אלמנטרית]] היא פונקציה המתקבלת ממספר סופי של פעולות פשוטות על פונקציות בסיסיות. פורמלית, ניתן לבנות את הפונקציות האלמנטריות באופן אלגברי כמתואר להלן.

יהי <math>F</math> [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] עם [[נגזרת (אלגברה)|פעולת גזירה]] <math>a \mapsto a'</math>. השדה <math>F</math> יחד עם הפעולה <math>a'</math> נקרא '''[[שדה דיפרנציאלי]]'''. אוסף האיברים <math>F_C=\{a\in F: a'=0\}</math> הוא תת-שדה של <math>F</math> הקרוי '''שדה הקבועים''' של <math>F</math>.

'''אקספוננט''' של איבר <math>a\in F</math> הוא איבר המסומן <math>e^a</math> שמקיים: <math>(e^a)'=a'e^a</math> (זהו אנלוג אלגברי של פונקציית ה[[אקספוננט]]). באופן דומה, '''לוגריתם''' של איבר <math>a\in F</math> הוא איבר המסומן <math>\log a</math> שמקיים: <math>(\log a)'=a'/a</math> (זהו אנלוג אלגברי של [[הלוגריתם הטבעי]]).

הרחבת שדות דיפרנציאלית זהה ל[[הרחבת שדות]] רגילה בכפוף לתנאי שהנגזרות מזדהות על השדה הקטן. הרחבה דיפרנציאלית <math>K/F</math> נקראת '''הרחבה אלמנטרית''' של <math>F</math> אם קיימת שרשרת סופית של הרחבות <math>F=K_0\subset K_1\subset K_2\subset\ldots\subset K_n=K</math> כך שלכל <math>0\le i< n</math> מתקיימת אחת מהאפשרויות הבאות:
*<math>K_{i+1}=K_i(a)</math> כאשר a [[איבר אלגברי|אלגברי]] מעל <math>K_i</math>.
*<math>K_{i+1}=K_i(e^a)</math> כאשר <math>a\in K_i</math>.
*<math>K_{i+1}=K_i(\log a)</math> כאשר <math>a\in K_i</math>.

==המשפט==
יהי <math>a\in F</math> ותהי <math>K/F</math> הרחבה אלמנטרית כך ש-<math>F_C=K_C</math>, וכן קיים <math>b\in K</math> המקיים <math>b'=a</math>. אזי קיימים קבועים <math>c_1,\ldots,c_n\in F_C</math> ואיברים <math>u_1,\ldots,u_n,v\in F</math> כך שמתקיים:
:<math>a=\sum_{i=1}^n c_i\frac{u_i'}{u_i}+v'</math>

במילים אחרות, לכל איבר בשדה דיפרנציאלי עם קדומה אלמנטרית יש קדומה בשדה, [[עד כדי]] סכום של מספר סופי של לוגריתמים.

[[קטגוריה:משפטים באלגברה|ליוביל]]
[[קטגוריה:אלגברה דיפרנציאלית]]