הצגת המקור של הדף "משפט ליוביל (אנליזה מרוכבת)"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[אנליזה מרוכבת]], '''משפט ליוביל''' אומר כי [[פונקציה מרוכבת]] [[פונקציה שלמה|שלמה]] (כלומר, פונקציה ש[[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]] בכל [[שדה המספרים המרוכבים|המישור המרוכב]]) ו[[חסם|חסומה]] חייבת להיות קבועה. בין שימושיו של משפט זה ניתן למנות הוכחה אלגנטית של [[המשפט היסודי של האלגברה]] והוכחה אלגנטית לכך ש[[ספקטרום (מתמטיקה)|ספקטרום של אופרטור]] איננו ריק.

גרסה מוקדמת של המשפט הוכחה לראשונה על ידי [[ז'וזף ליוביל]] ב-[[1847]] והמשפט המלא הוכח על ידי [[אוגוסטן לואי קושי]].

==הוכחה==
הוכחת המשפט מבוססת על שימוש ב[[נוסחת האינטגרל של קושי]]. באמצעות הנוסחה מעריכים את הנגזרת של הפונקציה בכל נקודה. בשל שלמות הפונקציה, ערך הנגזרת נתון על ידי אינטגרל סגור על מעגל סביב הנקודה בה מחשבים את הנגזרת. ערך האינטגרל הולך וקטן כאשר מגדילים את [[רדיוס]] המעגל, וערך הנגזרת קטן מערך האינטגרלים על כל אחד מהמעגלים, ומכאן מסיקים כי בהכרח ערך הנגזרת הוא 0. מכיוון שערך הנגזרת של הפונקציה הוא 0 בכל נקודה, היא חייבת להיות קבועה.

על פי נוסחת קושי מתקיים:
:<math>f'(z)=\frac{1}{2\pi i}\!\!\!\oint\limits_{|t-z|=R}\!\!\!\frac{f(t)}{(t-z)^2}dt</math>
נפעיל [[ערך מוחלט]] על שני האגפים:
:<math>|f'(z)|=\left|\frac{1}{2\pi i}\!\!\!\oint\limits_{|t-z|=R}\!\!\!\frac{f(t)}{(t-z)^2}dt\right|\le\frac{1}{2\pi}\!\!\!\oint\limits_{|t-z|=R}\!\!\frac{|f(t)|}{|t-z|^2}|dt|\le\frac{1}{2\pi}\!\!\!\oint\limits_{|t-z|=R}\!\!\!\frac{M}{R^2}|dt|</math>
המעבר האחרון מוצדק בכך שהפונקציה שלנו חסומה, כלומר מתקיים <math>|f(z)|\le M</math> לכל נקודה במישור עבור <math>M</math> מסוים, ובכך שאנו מחשבים את האינטגרל על מעגל, ולכן מתקיים <math>|t-z|=R</math>.

אינטגרל של [[פונקציה קבועה]] על מעגל שווה להיקפו, ולכן נקבל: 
:<math>\frac{1}{2\pi}\!\!\!\oint\limits_{|t-z|=R}\!\!\!\frac{M}{R^2}|dt|=\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{M\cdot 2\pi R}{R^2}=\frac{M}{R}</math>
הדבר נכון עבור כל מעגל שנבחר סביב הנקודה <math>z</math>, מפני שהפונקציה הולומורפית בכל המישור.

לכן קיבלנו כי לכל <math>\varepsilon>0</math> קיים <math>R</math> גדול דיו כך שיתקיים <math>|f'(z)|\le\frac{M}{R}<\varepsilon</math>, ולכן בהכרח מתקיים <math>|f'(z)|=0</math>, וזה מתקיים רק כאשר <math>f'(z)=0</math>.

==הכללות וחיזוקים==
*תהי <math>f</math> שלמה, ולכל <math>r>0</math> נגדיר <math>M_f(r)=\underset{|z|=r}\max|f(z)|,A_f(r)=\underset{|z|=r}{\max}|Re(f(z))|</math>.
:אם קיימים <math>C>0,a>0</math> ממשיים עבורם <math>M_f(r)\le Cr^a,r\to\infty</math> או <math>A_f(r)\le Cr^a,r\to\infty</math>,
:אזי <math>f</math> [[פולינום]] ממעלה <math>\lfloor a\rfloor</math> (ה[[פונקציית הערך השלם|ערך השלם]] של <math>a</math>). (משפט ליוביל מתקבל כאשר <math>a=0</math>).
*מסקנה נוספת מהנ"ל, הידועה כ''משפט אדמר'', היא: אם <math>f</math> פונקציה שלמה ללא אפסים ו-<math>M_f(r)\le Cr^a,r\to\infty</math>, עם <math>C>1</math>, אזי היא מהצורה <math>f(z)=e^{p(z)}</math> כאשר <math>p</math> פולינום ממעלה <math>\lfloor a\rfloor </math>. (המשפט מתקבל מהנ"ל עם <math>\log(f)</math>).
*[[משפטי פיקאר|המשפט הקטן של פיקאר]] מחזק את משפט ליוביל. הוא קובע שכל פונקציה שלמה ולא קבועה מקבלת כל ערך במישור המרוכב מלבד אולי ערך אחד (למשל פונקציית ה[[אקספוננט]] מקבלת כל ערך מלבד 0).
*המשפט נכון גם עבור פונקציות הולומורפיות בכמה משתנים, כלומר – פונקציה הולומורפית בכמה משתנים אשר חסומה היא קבועה.
*כל פונקציה הולומורפית על [[משטח רימן]] קומפקטי היא בהכרח קבועה (שכן מהקומפקטיות נובע שהפונקציה חסומה).

==ראו גם==
*[[תכונת ליוביל]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{אנליזה מרוכבת}}

[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת|ליוביל, משפט]]