הצגת המקור של הדף "משפט לסקר-נתר"

{{מפנה|הפירוק הפרימרי|משפט באלגברה ליניארית|תת-מרחב שמור}}

'''משפט לסקר-נתר''' או משפט '''הפירוק הפרימרי''' הוא משפט ב[[תורת החוגים]], המספק, עבור כל [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] של [[חוג (מבנה אלגברי)|חוג]] [[חוג קומוטטיבי|קומוטטיבי]] [[חוג נתרי|נתרי]], פירוק בתור חיתוך של מספר סופי של [[אידיאל פרימרי|אידיאלים פרימריים]]. הפירוק שבו מספר האידיאלים מינימלי הוא '''יחיד''' מבחינת ה[[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקלים]] של האידיאלים הפרימריים המשתתפים בו.

את המשפט הוכיח [[עמנואל לסקר]] עבור חוגי [[פולינום|פולינומים]] בכמה משתנים מעל שדה, ו[[אמי נתר]] הכלילה אותו לכל חוג נתרי.

== ניסוח המשפט ==
יהי <math>A </math> [[חוג נתרי]] ו[[קומוטטיבי]]. כל [[אידיאל (אלגברה)|אידיאל]] <math>I </math> של <math>A</math> הוא חיתוך <math>I=Q_1 \cap Q_2 \cap ... \cap Q_n </math>, עבור [[אידיאל פרימרי|אידיאלים פרימריים]] <math>Q_1,Q_2,...Q_n </math>. בנוסף לזה, בכל הדרכים להציג את <math>I</math> כחיתוך כזה עם <math>n</math> מינימלי, מתקבלים אותם [[רדיקל (תורת החוגים)|רדיקלים]] <math>\sqrt{Q_1}, \sqrt{Q_2}, ... ,\sqrt{Q_n} </math> (עד כדי סדר).

== הוכחת הקיום ==
'''למה ראשונה''': ב[[חוג נתרי]] כל אידיאל הוא חיתוך של מספר סופי של [[אידיאל אי פריק|אידיאלים אי פריקים]] (אידיאל אי-פריק הוא אידיאל שלא ניתן להציג כחיתוך של שני אידיאלים אחרים).

:הוכחה: [[הוכחה בדרך השלילה|נניח בשלילה]] שקיימים אידיאלים שאינם חיתוך של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים. על-פי [[עקרון המקסימום]], המתקיים בחוגים נתריים, ניתן להניח שיש אידיאל <math>M</math> שהוא מקסימלי מבין האידיאלים בעלי תכונה זו.

:<math>M</math> בוודאי אינו פריק, ולכן ניתן לרשום <math>M=A \cap B</math> כאשר <math>M\subsetneq\ A,B </math>. מתוך המקסימליות של <math>M </math> נובע ש-<math>A,B</math> הם חיתוכים של מספר סופי של אידיאלים אי פריקים, ולכן גם החיתוך שלהם, <math>M</math>, הוא כזה – בסתירה להנחה.

'''למה שנייה''': בחוג קומוטטיבי נתרי <math>A</math>, כל אידיאל אי פריק <math>Q </math> הוא [[אידיאל פרימרי|פרימרי]].
:הוכחה: נניח ש-<math>Q </math> אינו [[אידיאל פרימרי|פרימרי]] ונוכיח שהוא פריק. מכיוון ש-<math>Q </math> אינו פרימרי, קיימים איברים <math>b,c \in A </math> כך ש-<math>c \not \in Q </math> וגם <math>\forall n:\ b^n \not \in Q </math>.

:נסמן <math>I_k=\{x \in A | xb^k \in Q\} </math>. מכיוון ש-<math>Q </math> הוא אידיאל, אם <math>xb^k \in Q </math> אז גם אם נכפול אותו באיבר כלשהו הוא יישאר באידיאל ולכן גם <math>xb^{k+1} \in Q </math>.

:מבנייה זו מתקבלת השרשרת העולה <math>Q = I_0 \subset I_1 \subset I_2 \subset \dots </math>. מכיוון שהחוג נתרי השרשרת חייבת להעצר ולכן קיים <math>l </math> כך ש-<math>I_l = I_{l+1} </math>.
:לכן, אם <math>xb^{l+1} \in Q </math> אזי <math>xb^l \in Q </math>.

:כעת נסתכל על הקבוצות <math>M=Q + Ab^l </math> ו-<math>N=Q + Ac </math>. הן בוודאי שונות מ-<math>Q </math> מכיוון ש-<math>b^l \not \in Q </math> ו-<math>c \not \in Q </math>.

:נוכיח ש-<math>(Q + Ab^l) \cap (Q + Ac) = Q </math>.
::ברור ש-<math>Q \subset \ M \cap N </math> מכיוון ש-<math>Q \subsetneq \ M </math> וגם <math>Q \subsetneq \ N </math>. נראה ש-<math>M \cap N \subset \ Q </math>.

::ניקח איבר בחיתוך, ונציג אותו כאיבר כל אחד מהקבוצות: <math>q + ab^l=q' + a'c </math> כאשר <math>q,q' \in Q </math> ו-<math>a,a' \in A </math>.

::נכפול את שני צידי המשוואה ב-<math>b</math> ונקבל <math>qb + ab^{l+1}=q'b + a'bc </math>.

::עכשיו, נתון ש-<math>bc \in Q </math> ומכיוון ש-<math>Q</math> הוא אידיאל, אז <math>a'bc \in Q </math>. מכיוון ש-<math>Q</math> אידיאל גם <math>qb,q'b \in Q </math>. זה גורר שהאיבר היחיד שנותר במשוואה גם כן שייך ל-<math>Q </math>, דהיינו: <math>ab^{l+1} \in Q </math>.

::אבל הראנו שזה גורר ש-<math>ab^l \in Q </math>. ולכן <math>q + ab^l \in Q </math>, כלומר כל איבר כללי בחיתוך שייך ל-<math>Q </math> ולכן <math>M \cap N \subset \ Q </math>.

:אם כן, <math>M \cap N = Q </math> כלומר הצלחנו לפרק את <math>Q </math> ל-<math>M</math> ו-<math>N</math> ולכן <math>Q</math> '''פריק''' כפי שרצינו.

משתי הלמות מתקבל פירוק סופי של כל אידיאל לאידיאלים פרימריים.

[[קטגוריה:תורת החוגים]]
[[קטגוריה:משפטים באלגברה|לסקר-נתר]]