הצגת המקור של הדף "משפט מינקובסקי"

'''משפט מינקובסקי''' הוא תוצאה בסיסית בתחום המכונה '[[גאומטריה של מספרים]]', השייך ל[[תורת המספרים]]. את ה[[משפט (מתמטיקה)|משפט]] הוכיח [[הרמן מינקובסקי]] ב-[[1889]]. 

נניח ש- L הוא [[סריג (מתמטיקה)|סריג]] במרחב <math>\ \mathbb{R}^n</math>. נסמן את ה[[נפח]] של ה[[מקבילון]] היסודי שלו ב- C. (הדוגמה הפשוטה ביותר היא הסריג <math>\ \mathbb{Z}^n</math> הכולל את הנקודות שכל הרכיבים שלהן שלמים. המקבילון היסודי במקרה זה הוא קוביית היחידה, והנפח שלו הוא C=1). 
המשפט עוסק בקבוצות [[סימטריה|סימטריות]] ביחס לראשית (כלומר, קבוצות הכוללות יחד עם כל נקודה x גם את הנקודה הנגדית <math>\ -x</math>), וקובע שקבוצה סימטרית [[קמירות|קמורה]], שהנפח שלה עולה על <math>\ 2^nC</math>, מוכרחה להכיל לפחות נקודה אחת של L פרט לאפס (אם ידוע שהקבוצה [[קבוצה קומפקטית|קומפקטית]], הטענה נכונה גם אם הנפח שווה לחסם, ולא רק גדול ממנו).

ממשפט זה נובע שכל מחלקה של [[אידיאל (אלגברה)|אידיאלים]] שבריים ב[[חוג שלמים|חוג השלמים]] <math>\ \mathcal{O}_K</math> של [[שדה מספרים]] K מכילה אידיאל <math>\ I</math>, עם נורמה <math>\ N(I)\leq \frac{n!}{n^n}\left(\frac{4}{\pi}\right)^s\cdot \sqrt{|D|}</math> (הנורמה של <math>\ I</math> שווה לגודל [[חוג מנה|חוג המנה]] <math>\ \mathcal{O}_K/I</math>). כאן n הוא הממד של K מעל [[שדה המספרים הרציונליים]],  2s הוא מספר ה[[שיכון (מתמטיקה)|שיכונים]] המרוכבים של K, ו- D היא ה[[דיסקרימיננטה]] של ההרחבה. לחסם זה יש תוצאות מרחיקות לכת, שהחשובה ביניהן היא העובדה שכל הרחבה של [[שדה המספרים הרציונליים]] [[הרחבה מסועפת|מסועפת]] לפחות מעל ראשוני אחד.

==ראו גם==
* [[משפט פיק]]

[[קטגוריה:תורת המספרים האלגברית]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים|מינקובסקי]]
[[קטגוריה:משפטים בגאומטריה|מינקובסקי]]