הצגת המקור של הדף "משפט ניקומאכוס"

'''משפט ניקומאכוס''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] ב[[תורת המספרים]] הקובע כי הזהות הבאה מתקיימת לכל [[מספר טבעי]] n:
:<math>1^3+2^3+\ldots+n^3 = (1+2+\ldots+n)^2</math>
כלומר ש[[סכום]] n ה[[מספר מעוקב|מספרים המעוקבים]] הראשונים (חזקות שלישיות) שווה ל[[מספר ריבועי|ריבוע]] סכום n המספרים הראשונים. המשפט קרוי על שם ה[[מתמטיקאי]] ה[[יווני]] בן [[המאה ה-1]], [[ניקומאכוס]], שכתב אודותיו.

==היסטוריה==
הזהות של ניקומאכוס נתגלתה באופן בלתי תלוי פעמים רבות במהלך ההיסטוריה. בין השאר גילו אותה ה[[הודי]] [[אריאבהטה]] ([[המאה ה-5]]), ה[[פרסי]] [[אל-קאראג'י]] ([[המאה ה-10]]), ה[[יהדות צרפת|יהודי צרפתי]] [[רלב"ג]] ([[המאה ה-14]]) וההודי [[נילקנטה סומיאג'י]] ([[המאה ה-15]]).

==תיאור המשפט==
מבחינה פורמלית משפט ניקומאכוס קובע שלכל n טבעי מתקיים:
:<math>\sum_{k=1}^n {k^3} = \left(\sum_{k=1}^n {k}\right)^2</math>

סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד n נקרא ה[[מספר משולשי|מספר המשולשי]] ה-n, והוא מסומן <math>T_n</math>. [[מספר משולשי#נוסחה מפורשת|ישנה נוסחה מפורשת]] למספרים משולשיים: <math>T_n = \frac{n(n+1)}2</math>, ובאמצעותה ניתן לתאר את משפט ניקומאכוס גם כך:
:<math>\sum_{k=1}^n {k^3} = T_n^2 = \frac{n^2(n+1)^2}4</math>

==הוכחות==
למשפט ניקומאכוס הוכחות רבות. קודם להצגתן נציין שלוש זהויות שישמשו לשם קיצור ואסתטיות. את שלוש הזהויות ניתן להוכיח בפשטות בדרך אלגברית מתוך הנוסחה המפורשת למספר משולשי. עם זאת, לכולן ישנן גם הוכחות [[גאומטריה|גאומטריות]] ו[[קומבינטוריקה|קומבינטוריות]].
:<math>T_n-T_{n-1} = n \quad (1)</math> (נובע ישירות מההגדרה של מספר משולשי)

:<math>T_n+T_{n-1} = n^2 \quad (2)</math> ([[מספר משולשי#הוכחה גאומטרית|הוכחה גאומטרית]])

:<math>T_n = \binom {n+1}2 \quad (3)</math> ([[מספר משולשי#מקדם בינומי|הוכחה קומבינטורית]]; לפשר הסימון ראו [[מקדם בינומי]])

כמו כן נניח כי <math>\ T_0=0</math> (כפי שאכן משתמע מכל הנוסחאות והזהויות).

===הוכחה באינדוקציה===
ההוכחה הסטנדרטית למשפט היא באינדוקציה. בסיס האינדוקציה הוא המשוואה <math>1^3=1^2</math>. נניח כי <math>T_{n-1}^2 = 1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3</math> ונראה כי <math>T_{n}^2 = 1^3+2^3+\ldots+n^3</math>:
:<math>T_n^2 = (T_{n-1}+n)^2 = T_{n-1}^2+2nT_{n-1}+n^2 = </math>
נציב את הנחת האינדוקציה ואת הנוסחה למספר משולשי ונקבל:
:<math> = (1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3) + (n^2(n-1)+n^2) = 1^3+2^3+\ldots+n^3</math>
כנדרש.

===הוכחה באמצעות טור טלסקופי===
נבחין בזהות הבאה הנובעת מזהויות (1) ו-(2):
:<math>T_k^2-T_{k-1}^2 = (T_k+T_{k-1})(T_k-T_{k-1}) = k^2\cdot k = k^3</math>

כעת נוכל להציג את הסכום המבוקש כ[[טור טלסקופי]]:
:<math>\sum_{k=1}^n {k^3} = \sum_{k=1}^n {(T_k^2-T_{k-1}^2)} = T_n^2-T_{n-1}^2 + T_{n-1}^2 -T_{n-2}^2+\ldots-T_0^2 = T_n^2</math>

===הוכחה קומבינטורית===
נגדיר קבוצה <math>A</math> שאיבריה הם [[n-יה סדורה|רביעיות סדורות]] של מספרים בין 0 ל-n (כולל), כך שהאיבר הרביעי בכל רביעייה גדול ממש משלושת האיברים האחרים. בסימונים: <math>A = \{(h,i,j,k)| 0\le h,i,j < k \le n\}</math>. לכל k קבוע, h,{{כ}} i ו-j נבחרים בחופשיות מבין המספרים מ-0 עד k-1. כלומר יש <math>k^3</math> רביעיות כאלו. ובסך הכל בכל הקבוצה A מספר האיברים הוא:
:<math>\ |A| = \sum_{k=1}^n {k^3}</math>

נגדיר עתה קבוצה <math>B</math> שאיבריה הם [[זוג סדור|זוגות סדורים]] של [[תת-קבוצה|תת-קבוצות]] בנות שני איברים של קבוצת המספרים מ-0 עד n. כל תת-קבוצה כזו ניתן לאפיין למעשה כזוג סדור עם המגבלה שהאיברים בזוג שונים והגדול יותר נמצא בימין. כלומר:
:<math>\ B = \{((w,x),(y,z))| 0\le w<x\le n, 0\le y<z\le n\}</math>
B מורכבת מזוגות של תת-קבוצות עם שני איברים הנבחרים בחופשיות, ולכן מהגדרת ה[[מקדם בינומי]] ומזהות (3) נובע:
:<math>\ |B| = \binom {n+1}2^2 = T_n^2</math>

כעת נציג [[התאמה חד-חד-ערכית ועל]] מ-A ל-B:
:<math>f(h,i,j,k)=\begin{cases}((h,i),(j,k))&\mbox{if }h<i;\\((j,k),(i,h))&\mbox{if }h>i;\\((i,k),(j,k))&\mbox{if }h=i\end{cases}</math>
הפונקציה בוודאי חד-חד-ערכית, והיא על כי לכל זוג סודר חוקי ניתן לבנות רביעייה מתאימה.

ההתאמה מעידה כי שתי הקבוצות שוות בגודלן, כלומר:
:<math>\sum_{k=1}^n {k^3} = |A| = |B| = T_n^2</math>

===הוכחה גאומטרית===
בספר "''Proofs Without Words''"{{כ}} ({{ISBN|978-0-88385-700-7}}) מובאות שבע הוכחות גאומטריות שונות למשפט. אחת מהן מודגמת באיור הבא:
[[קובץ:משפט ניקומאכוס.svg|מרכז|ממוזער|320px|<center><big>{{משמאל לימין|1=1<sup>3</sup>+2<sup>3</sup>+3<sup>3</sup>+4<sup>3</sup>+5<sup>3</sup>+6<sup>3</sup> = (1+2+3+4+5+6)<sup>2</sup>}}</big></center>]]

בכל צבע צבועים <math>k</math> [[ריבוע]]ים עם צלע באורך <math>k</math>. כלומר כל צבע מכסה שטח השווה ל-<math>k^3</math> (כאשר במקרים הזוגיים אחד הריבועים מפוצל לשניים). כאשר מסדרים את כל השטחים יחדיו לכל <math>1\le k\le n</math> נוצר ריבוע עם צלע באורך <math>T_n</math>, ולכן שטחו <math>T_n^2</math>.

===הוכחה נוספת===
ראשית נבחין בכך ש-<math>k^3</math> הוא הסכום של <math>k</math> מספרים אי-זוגיים עוקבים שה[[ממוצע חשבוני|ממוצע החשבוני]] שלהם הוא <math>k^2</math>. פורמלית: <math>\sum_{i=T_{k-1}+1}^{T_k} {2i-1} = k^3</math>.{{הערה|בסכום יש <math>T_k-T_{k-1} = k</math> מחיבורים (זהות (1)) והממוצע שלהם הוא אכן <math>\frac{(2(T_{k-1}+1)-1)+(2T_k-1)}{2} = T_{k-1}+T_k = k^2</math> (זהות (2)) כנדרש.}}

כעת נבחן את סכום האי-זוגיים מ-1 עד <math>2T_n-1</math>:
:<math>\sum_{i=1}^{T_n} {2i-1} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=T_{k-1}+1}^{T_k} {2i-1} = \sum_{k=1}^{n} {k^3}</math>

למשל סכום האי זוגיים מ-1 עד 19 הוא:
:<math>1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19) = 1+8+27+64 = 1^3+2^3+3^3+4^3</math>

מצד שני את סכום האי-זוגיים מ-1 עד <math>2T_n-1</math> ניתן לחשב בעזרת הנוסחה לסכום [[טור חשבוני]] ([[מספר ריבועי|או באמצעות טיעון גאומטרי]]) ולקבל שהוא שווה ל-<math>T_n^2</math> כנדרש.

==הכללות==
[[יאקוב ברנולי]] מצא נוסחה כללית לחישוב סכום חזקות כלשהן של n המספרים הראשונים:
:<math>\sum_{k=1}^n k^m = \frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m}(-1)^i\binom{m+1}{i}B_in^{m+1-i}</math>

כאשר <math>B_i</math> הוא [[מספר ברנולי]] ה-i.

כאשר m אי-זוגי, הסכום הוא תמיד [[פולינום]], ללא מקדם חופשי, ב-<math>T_n</math>.

==קישורים חיצוניים==
* [http://www.math.hmc.edu/~orrison/research/papers/two_quick.pdf שתי הוכחות קומבינטוריות של <math>\scriptstyle \sum k^3 = {n+1\choose 2}^2</math>] {{אנגלית}}
* [http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/rectangles.pdf סכימת מספרים מעוקבים באמצעות ספירת מלבנים] {{אנגלית}}
* [http://nrich.maths.org/325/solution הוכחה גאומטרית] {{אנגלית}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}
{{מיון רגיל:ניקומאכוס, משפט}}
[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:הוכחות]]
[[קטגוריה:זהויות במתמטיקה]]