הצגת המקור של הדף "משפט נקודת השבת של בנך"

{{סימון מתמטי}}
'''משפט נקודת השבת של בנך'''  הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט]] חשוב ב[[אנליזה מתמטית]] ובתאוריה של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. הוא נותן תנאי מספיק לקיומה של [[נקודת שבת]] עבור [[פונקציה|פונקציות]] מסוימות, וכן מספק דרך קונסטרוקטיבית למצוא נקודה זו באמצעות הפעלה חוזרת ונשנית של הפונקציה. המשפט נקרא על שמו של [[סטפן בנך]], שניסח אותו לראשונה בשנת [[1922]].

==ניסוח המשפט==
אם <math>\left(X,d\right)</math> הוא [[מרחב מטרי שלם]] והפונקציה <math>f:X\to X</math> היא [[העתקה מכווצת]] (כלומר, קיים מספר <math>q<1</math> כך שהיא מקיימת <math>d\left(f(x),f(y)\right)\le q\cdot d(x,y)</math> לכל <math>x,y\in X</math>), אז קיימת נקודת שבת אחת ויחידה <math>x^*\in X</math> (זוהי נקודה המקיימת <math>f(x^*)=x^*</math>).

למשל במקרה ש-<math>X</math> הוא [[הישר הממשי]] נקבל שאם קיים קבוע <math>q<1</math> כך שלכל <math>x</math> ו-<math>y</math> ממשיים מתקיים <math>|f(x)-f(y)|\le q|x-y|</math>, אז למשוואה <math>f(x)=x</math> יש פתרון אחד ויחיד.

יתר על כן, נקודה זו יכולה להימצא באופן הבא: אם <math>x_0\in X</math> היא נקודה כלשהי במרחב ונגדיר סדרה על ידי הפעלות חוזרות ונשנות של <math>f</math> בצורה הבאה: <math>x_{n+1}=f(x_n)</math> עבור <math>n=0,1,2,3,\dots</math>, אז סדרה זו מתכנסת אל <math>x^*</math>. המרחק בין נקודות עוקבות בסדרה קטן בקצב גאומטרי ולכן זו היא [[סדרת קושי]] וגבולה הוא הנקודה המבוקשת. ניתן להעריך את קצב ההתכנסות באמצעות אי השוויון הבא:
<div style="text-align: center;">
<math>d(x^*,x_n)\le \frac{q^n}{1-q}d(x_1,x_0)</math>.
</div>

==הוכחה==
בוחרים <math>x_0\in X</math> ומגדירים סדרה <math>x_{n+1}=f(x_n)</math>. לפי תכונת הכיווץ מתקיים <math>d(x_{n+1},x_n) = d(f(x_n),f(x_{n-1})) \le q\cdot d(x_n,x_{n-1})</math>. ומכאן ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] נובע ש-<math>d(x_{n+1},x_n) \le q^n\cdot d(x_1,x_0)</math>. 

נקבל שלכל <math>n<m</math> מתקיים:
:<math>d(x_m,x_n) \le d(x_{n+1},x_n) +\ldots + d(x_m,x_{m-1}) \le q^n\cdot d(x_1,x_0) +\ldots + q^{m-1}\cdot d(x_1,x_0)=</math>
:<math> = q^n\cdot d(x_1,x_0)(1+q+\ldots + q^{m-n-1})\le q^n\cdot d(x_1,x_0)(1+q+q^2+\ldots) = \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0)</math>

בעבור <math>n</math> [[גדול מספיק]] ולכל <math>n<m</math> ,נקבל ש-<math>d(x_m,x_n)</math> קטן כרצוננו, ולכן <math>(x_n)_n</math> היא [[סדרת קושי]]. מכיוון שהמרחב שלם, כל סדרת קושי [[גבול של סדרה|מתכנסת]]. נסמן <math>x^* = \lim_{n\to \infty} x_n</math>. זוהי נקודת שבת שכן:
:<math>f(x^*) = f(\lim_{n\to \infty} x_n) = \lim_{n\to \infty} f(x_n) = \lim_{n\to \infty} x_{n+1} = \lim_{n\to \infty} x_n = x^*</math>

הסתמכנו על ה[[רציפות במידה שווה]] של <math>f</math> שנובעת מתכונת הכיווץ.

נוכיח את יחידות נקודת השבת. נניח <math>x^*,y^*</math> הן נקודות שבת. אז:
:<math>d(x^*,y^*) = d(f(x^*),f(y^*)) \le q\cdot d(x^*,y^*)</math>

מכיוון ש-<math>q<1</math> נקבל שבהכרח <math>d(x^*,y^*) = 0</math>, ולכן <math>x^*=y^*</math>.

==הערות ==
* דרישת ה[[מרחב מטרי שלם|שלמות]] היא הכרחית. לדוגמה: נסמן <math>X=\mathbb{Q}\cap[1,2]</math>, (אוסף [[מספר רציונלי|המספרים הרציונליים]] בקטע <math>[1,2]</math>). אזי ההעתקה <math>f(x)=x-\frac{1}{4}\left(x^2-2\right)</math> היא העתקה מכווצת מ-<math>X</math> לעצמו, אך אין לה נקודת שבת ב-<math>X</math>, שכן הפתרונות ל-<math>f(x)=x </math> בין המספרים הממשיים הם <math>x=\pm \sqrt 2</math>, ואלו אינם שייכים ל-<math>X</math>.
* במרחב מטרי [[קומפקטיות|קומפקטי]], אפשר להחליף את הדרישה לכיווץ "במידה שווה" (<math>d\left(f(x),f(y)\right)\le q\cdot d(x,y)</math>) בדרישה החלשה יותר <math>d\left(f(x),f(y)\right)<  d(x,y)</math>, ועדיין מובטח קיומה של נקודת שבת. ניתן להוכיח זאת באמצעות הגדרת הפונקציה <math>g(x)=d(x,f(x))</math>. פונקציה זו רציפה, ומהיותה רציפה על קטע קומפקטי היא מקבלת מינימום עבור <math>x_0</math> כלשהי במרחב הקומפקטי. ניתן להראות כי ערך מינימלי זה הוא 0, ועל-כן <math>x_0</math> היא נקודת שבת. היחידות נובעת מהיותה של הפונקציה מכווצת.
* במרחב מטרי כללי טענה זו אינה נכונה; לדוגמה, הפונקציה <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=\frac{\pi}{2}+x-\arctan x</math>, כאשר <math>\arctan:\mathbb{R}\to \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)</math>, מקיימת את אי-השוויון <math>|f(x)-f(y)|<|x-y|</math>, אך אין לה נקודת שבת ב-<math>\mathbb{R}</math>.

==שימושים==
המשפט משמש להוכחת [[משפט הקיום והיחידות (משוואות דיפרנציאליות)|משפט הקיום והיחידות]] ל[[משוואות דיפרנציאליות]] ולהוכחת [[משפט הפונקציה ההפוכה]].
המשפט גם שימושי מאוד ב[[אנליזה נומרית]], להוכחה קונסטרוקטיבית של קיום נק' שבת של פונקציות איטרטיביות, וכך משיגים קירובים נומריים לשורשים של משוואות.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{לא מדויק|2019/03/23/banach_and_brouwer_fixed_point_theorem|משפטי נקודת השבת של בנך וברואר}}

[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה|נקודת השבת של בנך]]
[[קטגוריה:משפטי נקודת שבת|בנך]]