הצגת המקור של הדף "משפט סטוקס"

{{פירוש נוסף|נוכחי=משפט מתחום החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|אחר=חוק מתחום ההידרודינמיקה|ראו=[[חוק סטוקס]]}}
{{סימון מתמטי}}
ב[[מתמטיקה]], '''משפט סטוקס''' הוא [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של [[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]] עבור [[יריעה חלקה|יריעות חלקות]]. המשפט קרוי על שם [[ג'ורג' סטוקס]] והוא בעל חשיבות רבה באנליזה של [[שדה וקטורי|שדות וקטוריים]].

בהינתן [[יריעה]] דיפרנציאלית קומפקטית [[יריעה אוריינטבילית|אוריינטבילית]] <math>M</math> ו[[תבנית דיפרנציאלית]] <math> \omega</math> המוגדרת על <math>M</math> מתקיים:

:<math>\int_M \,\mathrm{d}\omega = \int_{\partial M} \omega\!\,</math>

כאשר <math>d\omega</math> היא ה[[תבנית דיפרנציאלית#פעולות על תבניות|נגזרת החיצונית]] של <math>\omega</math> ו-<math>\partial M</math> היא השפה של <math>M</math>.

==מקרים פרטיים==
===חוק סטוקס===
ב[[מרחב וקטורי|מרחב הווקטורי]] <math>\mathbb{R}^3</math>, ניתן לנסח את המשפט כך: <math>\oint_{\partial A} \vec F \cdot \vec {\mathrm{d}l}=\iint_A (\vec \nabla \times \vec F)\cdot \mathrm{d}\hat n </math>, כאשר <math>A</math> היא יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא [[אינטגרל מסילתי]] של השדה על שפת <math>A</math>, והאגף הימני הוא [[אינטגרל משטחי]] על ה[[שטף]] של [[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]] השדה דרך <math>A</math>. שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעיתים בפי הפיזיקאים '''חוק סטוקס''') הוא ב[[משוואות מקסוול]], או ליתר דיוק, ב[[חוק אמפר]] וב[[חוק פאראדיי]].

====משפט גרין====
{{הפניה לערך מורחב|משפט גרין}}
[[משפט גרין]] הוא [[מקרה פרטי]] של חוק סטוקס, בו השדה הווקטורי הוא <math>\vec{F}(x,y)=(P,Q)</math>. במקרה זה בהינתן מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין <math>C</math>, נקרא לשטח החסום על ידי המסילה <math>D</math> ויתקיים:{{ש}}
<math>\oint_C (P\,\mathrm{d}x+Q\,\mathrm{d}y) =\oint_C \vec{F}\cdot \vec{\mathrm{d}l} =\iint_D (\vec{\nabla} \times \vec{F})\cdot \hat{z} \,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y</math>

===משפט גאוס===
מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־<math>\mathbb{R}^3</math> היא [[משפט גאוס]] (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ): <math>\iiint_V(\vec\nabla\cdot\vec F )\,\mathrm{d}V=\iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\vec F\cdot \mathrm{d}\hat n</math>, כאשר <math>V</math> הוא [[נפח]] ב־<math>\mathbb{R}^3</math>, <math>S=\partial V</math> היא המעטפת הכולאת אותו, ו־<math>\hat n</math> הוא [[וקטור נורמלי]] למשטח <math>S</math>. האגף השמאלי הוא [[אינטגרל רב-ממדי|אינטגרל נפחי]] של ה[[דיברגנץ]] של <math>\vec F</math> על הנפח <math>V</math>, ואגף ימין הוא [[אינטגרל משטחי]] של ה[[שטף]] של <math>\vec F</math> דרך <math>S</math>. גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא [[חוק גאוס]].
===משפט הגרדיאנט (נוסחת ניוטון-לייבניץ)===
[[משפט הגרדיאנט]] הוא הכללה של נוסחת ניוטון לייבניץ ואומר שאם <math>\gamma : [a,b]\to \mathbb{R}^n</math> מסילה גזירה ו- <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> [[שדה סקלרי|פונקציה סקלרית]] דיפרנציאבילית אזי:{{ש}}
<math>\int_\gamma (\vec{\nabla} f)\cdot \vec{\mathrm{d}r}=f(\gamma(b))-f(\gamma(a))</math>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2014/10/mathbbe3.html זהויות אינטגרליות בתלת-מרחב] בבלוג [http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/ רשימות בפיזיקה עיונית].
* [https://youtu.be/bWJLPsKhhak?list=PLW6KNQoisKdsaND4eIPz3Ye9cA4ShlOy8&t=3301 HIT משפט סטוקס] - הסבר על משפט סטוקס, הרצאה של קורס במכון הטכנולוגי חולון, עברית
* {{MathWorld}}

{{אנליזה וקטורית}}
{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אנליזה וקטורית]]
[[קטגוריה:גאומטריה דיפרנציאלית]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה|סטוקס]]
[[קטגוריה:אינטגרלים]]