הצגת המקור של הדף "משפט קוטה-ז'וקובסקי"

'''משפט קוטה-ז'וקובסקי''' (לעיתים: '''תורת קוטה ז'וקובסקי''') הוא משפט יסודי ב[[אווירודינמיקה]] ובאופן כללי יותר ב[[מכניקת הזורמים]] המשמש לחישוב [[כוח עילוי|כוח העילוי]] הפועל על כנף דו-ממדית הנעה במהירות מספקת כך ששדה הזרימה סביבה הוא [[סוגי זרימה|תמידי]], [[זרימה שכבתית|למינרי]] וצמוד לכנף. המשפט מקשר בין העילוי, צפיפות הזורם וה[[סירקולציה]] מסביב לכנף. התורה פותחה בראשית המאה ה-20 על ידי [[מרטין וילהלם קוטה|מרטין קוטה]] ו[[ניקולאי ז'וקובסקי]] וקרויה על שמם. הנחת התיאוריה לפיה הזרימה למינרית על שפת הכנף מזניחה את [[צמיגות]] האוויר שגורמת להיווצרות [[שכבת גבול]] טורבולנטית דקה על שפת הכנף. למרות זאת התורה מהווה קירוב מדויק למדי עבור תעופה במהירות גבוהה מספיק ובזווית תקיפה נמוכה מספיק.

== ניסוח המשפט ==
עבור [[זרימה דו-ממדית]] מסביב לכנף קבועה, הנעה במהירות קבועה בתווך בו הצמיגות והדחיסות זניחה, כוח העילוי ליחידת אורך של מוטת הכנף מקיים<ref>{{צ-ספר|שם=An Introduction to Fluid Dynamics|קישור=http://dx.doi.org/10.1017/cbo9780511800955|מו"ל=Cambridge University Press|שנת הוצאה=2000-02-28|ISBN=978-0-521-66396-0|מחבר=G. K. Batchelor|מקום הוצאה=|עמ=406}}</ref><ref name=":0">{{צ-ספר|שם=Elementary fluid dynamics|קישור=https://www.worldcat.org/oclc/20296032|מו"ל=Clarendon Press|שנת הוצאה=1990|מקום הוצאה=Oxford|ISBN=0-19-859660-X|oclc=20296032|מחבר=Acheson, D. J.,|עמ=143-146}}</ref>: <math>L'=\Gamma\rho_\infty V_\infty</math>, כאשר<math>\rho_\infty</math> צפיפות הזורם, <math>V_\infty</math> מהירות הזרימה המציפה ו-<math>\Gamma=\oint_C \mathbf{u} \cdot d\vec{\ell}</math> היא הסירקולציה מסביב לכנף. כוח העילוי יהיה מאונך לכיוון הזרימה המציפה. הלולאה <math>C</math> עליה מחושבת הסירקולציה צריכה להיות בתחום בו ניתן להניח שהזרימה היא [[זרימה פוטנציאלית דו-ממדית|זרימה פוטנציאלית]], ולא בתחום שכבת הגבול על שפת הכנף.

== הסירקולציה, תנאי קוטה וכנף ז'וקובסקי ==
[[קובץ:Airfoil_Kutta_condition.jpg|ממוזער|תנאי קוטה - צורת הכנף וקווי הזרם היוצאים מנקודת הסטגנציה. בתמונה העליונה זרימה שלא מקיימת את התנאי - ולא מייצרת עילוי. בתמונה התחתונה - זרימה המקיימת את התנאי ומייצרת כעלוי]]
{{הפניה לערך מורחב|תנאי קוטה}}

תורת קוטה ז'וקובסקי מאפשת לחשב את העילוי בהנחה שהסירקולציה נתונה; היא לא מסבירה מדוע הסירקולציה נוצרת ולא מציגה דרך לחשב את הסירקולציה עבור צורת כנף, [[זווית התקפה]] ומהירות זרימה ידועות.

בכנף קבועה, היווצרות הסירקולציה נובעת מקיום [[תנאי קוטה]], לפי תנאי זה, בזרימה מסביב לכנף עם קצה אחורי חד, [[נקודת סטגנציה|נקודת הסטגנציה]] של הזרימה תהיה בקצה החד של הכנף. המשמעות של תנאי זה הוא שזרימה העוברת תחת הכנף לא נעה מסביב לקצה הכנף כדי לזרום מעל לכנף. כשמסתכלים על כל הזרימה כזרימה פוטנציאלית, הסיבה לקיום התנאי היא שאי קיומו גורר שמהירות הזרימה בקצה הכנף היא אינסופית. במציאות, על שפת הכנף נוצרת שכבת גבול, והזרימה בשכבה הזו היא שמזיזה את נקודת הסטנגציה תוך יצירת מערבולת התחלתית.

סוג מיוחד של כנף הוא [[כנף ז'וקובסקי]] המתקבלת באמצעות [[העתקה קונפורמית|מיפוי קונפורמי]] של המרחב המרוכב לפי <math>z=\frac{1}{\zeta}+\zeta</math>. במיפוי זה, כל מעגל מהצורה <math>|\zeta-\zeta_0|=R</math> יוצר כנף במישור <math>z</math> (שהוא המישור הפיזיקלי) המוגדר על ידי העתקת ז'וקובסקי, כשמיקום המרכז <math>\zeta_0</math> והרדיוס <math>R</math>, קובעים את צורת הכנף. מאחר שההעתקה היא קונפורמית, קווי זרם במישור <math>\zeta</math> מועתקים לקווי זרם במישור <math>z</math>. הפתרונות האפשריים לזרימה במישור <math>\zeta</math> ידועים, מאחר שהם מתארים [[זרימה פוטנציאלית מסביב לגליל|זרימה מסביב לגליל]] עם סירקולציה. את [[זרימה פוטנציאלית דו-ממדית|הפוטנציאל המרוכב]] במישור <math>\zeta</math> ניתן להעתיק למישור הפיזי <math>z</math> ובמישור זה ישנו ערך יחיד לסירקולציה המאפשר את קיום תנאי קוטה. זוהי הסירקולציה שתתקבל מסביב לכנף.

== פיתוח ==
קל לפתח את משפט קוטה ז'וקובסקי באמצעות תיאור הזרימה על ידי פוטנציאל מרוכב. בתיאור כזה, לפי [[משפט בלסיוס]], הכוח הפועל על אזור המוקף בלולאה <math>C</math> מקיים<ref name=":0" />:

<math>\bar{F} =\frac{i\rho}{2}\oint_C \left(\frac{dw}{dz}\right)^2dz</math>

כאשר <math>\rho</math> היא צפיפות הזורם ו-<math>w</math> הפוטנציאל המרוכב. מאידך, <math>\frac{dw}{dz}</math> היא פונקציה הולמורפית וחסומה באינסוף, לכן הפיתוח של ל[[טור לורן]] מקיים <math>w'(z)=a_0 +\frac{a_1}{z} + \frac{a_2}{z^2}+...</math>. מצד שני, מתכונות הפוטנציאל נקבל: <math>\bar{u}=\frac{dw}{dz}</math> ולכן <math>a_0 = V_{x\infty}-iV_{y\infty}</math>.

את <math>a_1</math> ניתן לחשב לפי [[משפט השאריות|משפט השארית]]:

<math>a_1=\frac{1}{2\pi i }\oint_C \frac{dw}{dz}dz= \frac{1}{2\pi i} \left( \oint_C \mathbf{u} \cdot d\ell + i\oint_Cu_x dy -u_y dx\right)=\frac{\Gamma}{2\pi i }</math>

כאשר האינטגרל השני מתאפס מכיוון ש:<math>\oint_Cu_x dy -u_y dx= \oint_C \frac{d\psi}{dx}dx+\frac{d\psi}{dy}dy=\oint_C d\psi = 0</math>.

כעת ניתן להציב את שני האיברים האלו בטור ולקבל:

<math>\left(\frac{dw}{dz}\right)^2= a_0^2 + \frac{2a_0a_1}{z}= a_0^2+\frac{(V_{x\infty}-iV_{y\infty})\Gamma}{\pi z i}</math>

כל שנותר הוא לחשב את הכוח לפי משפט בלסיוס:

<math>F_x-iF_y= \bar{F} =\frac{i\rho}{2}\oint_C \left(\frac{dw}{dz}\right)^2dz=\rho(iV_{x\infty}+V_{y\infty}) \Gamma</math>

ולכן:

<math>F_x=\rho V_{y\infty}\Gamma;\ \ F_y=-\rho V_{x\infty}\Gamma</math>

כלומר כוח העילוי ליחידת אורך מקיים <math>F=\rho V \Gamma</math> והוא מאונך למהירות המציפה.

נשים לב שבמערכת צירים רגילה, בה <math>x</math> מצביע ימינה, ו-<math>y</math> למעלה, נקבל כוח עילוי חיובי עבור סירקולציה שלילית, כלומר סירקולציה עם [[כיוון השעון]].

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:אווירודינמיקה]]
[[קטגוריה:משפטים פיזיקליים]]