הצגת המקור של הדף "משפט קולצ'ין"

ב[[אלגברה]], '''משפט קולצ'ין''' קובע כי ניתן [[שילוש (מטריצות)|לשלש]] סימולטנית [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]] של מטריצות [[אוניפוטנט|אוניפוטנטיות]] (מעל [[שדה סגור אלגברית]]). את המשפט ניסח והוכיח [[אליס קולצ'ין]], שעסק רבות ב[[אלגברה דיפרנציאלית]] וב[[חבורה אלגברית|חבורות אלגבריות]] ליניאריות.

==הקדמה וניסוח==
[[מטריצה]] <math>A \in M_n(F)</math> תקרא [[אוניפוטנט|אוניפוטנטית]] אם <math>A-I</math> היא [[מטריצה נילפוטנטית]]. [[מונואיד (מבנה אלגברי)|מונואיד]] של מטריצות נקרא אוניפטנטי אם כל איבר אוניפטנטיים.

'''משפט קולצ'ין''' קובע כי אם <math>S \subseteq M_n(F)</math> מונואיד (ואפילו [[חבורה למחצה]]) אוניפטנטי של מטריצות מעל [[שדה סגור אלגברית]], אז ניתן [[שילוש (מטריצות)|לשלש]] סימולטנית את כל איברי המונואיד. כלומר, קיים [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] אחד לפיו כל איברי המונואיד הם בצורה משולשית (עליונה). 

זהו הניסוח הראשוני של המשפט. למעשה, ניתן לוותר על הדרישה שהשדה יהיה סגור אלגברית, כלומר בעזרת מעבר אל ה[[סגור אלגברי|סגור האלגברי]] הטענה נכונה לכל שדה.

==הוכחה==
ההוכחה שתינתן בעלת רעיון חשוב שחוזר על עצמו במשפטים דומים (ראו בהמשך). ניעזר במשפט של [[ג'וזף ודרברן|ודרברן]], הקובע כי אלגברה ממד סופי מעל השדה ובעלת בסיס [[איבר נילפוטנטי|נילפוטנטי]] היא בעצמה נילפוטנטית. 

תהי <math>S \subseteq M_n(F)</math> חבורה למחצה, ויהי <math>T</math> המרחב הליניארי הנפרש על ידי האיברים מהצורה <math>I-g</math>, עבור <math>g \in S</math>. מתקיים<math>(I-g)(I-g')=(I-g)+(I-g')-(I-gg')</math>, ולכן זוהי תת-אלגברה בעלת בסיס נילפוטנטי, ולפי המשפט של ודרברן היא עצמה נילפוטנטית: נניח <math>T^k=0,T^{k-1} \neq 0</math>. לכן, אם <math>0 \neq u \in T^{k-1}</math>, אז לכל <math>g \in S</math> מתקיים <math>u(I-g) \in T^k =0</math>, כלומר <math>ug=u</math> ולכן יש [[ערך עצמי|וקטור עצמי]] משותף לכל איברי תת-החבורה. לכן, כל איבר <math>g \in S</math> ניתן להביא אל הצורה <math>\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \tilde { g }  \end{pmatrix}</math> עבור <math>\tilde{g} \in M_{n-1}(F)</math>, ומכאן ממשיכים ב[[אינדוקציה]].

==משפטים דומים==
משפט קולצ'ין קובע תכונות מבנה של מטריצות אוניפטנטיות. למשפט מספר הקבלות טבעיות למקרים אחרים:
* [[משפט לי-קלוצ'ין]] ב[[חבורה פתירה|חבורות פתירות]]
* [[משפט לי]] ב[[אלגברת לי פתירה|אלגברות לי פתירות]]
* [[משפט אנגל]] ב[[אלגברת לי נילפוטנטית|אלגברות לי נילפטוניות]]

==הכללה לחוג עם זהויות==
[[ישראל הרשטיין]] הוכיח טענה מקבילה עבור [[חוג עם זהויות]] [[נוצר סופית]] <math>R</math> (עם יחידה).

ראשית, איבר <math>u \in R</math> הוא אוניפוטנט אם <math>1-u</math> הוא [[איבר נילפוטנטי]]. תהי <math>S \subseteq R</math> תת-חבורה למחצה אוניפוטנטית. אזי קיים <math>0 \neq u \in R</math> כך ש-<math>ug=u</math> לכל <math>g \in S</math>.

'''סקירת ההוכחה''': כמו בהוכחה לעיל, יהי <math>T</math> המרחב הנפרש על ידי <math>\{1-s\}_{s \in S}</math>. תוך שימוש בטענות על חוגים עם זהויות ניתן להוכיח כי זוהי תת-אלגברה נילית. כעת, בחוג נוצר סופית עם זהויות, ניתן להוכיח כי כל תת-אלגברה נילית מוכלת ב[[רדיקל ג'ייקובסון]], ולכן בעצמה נילפוטנטית. לכן, כמו קודם, ניתן למצוא <math>0 \neq u \in R</math> כך ש-<math>ug=u</math>.

עבור ההוכחה המלאה, ראו בקריאה נוספת.

==בעיית קולצ'ין==
'''בעיית קולצ'ין''' (the Kolchin Problem) שואלת האם ניתן להכליל את הטענה עבור מטריצות מעל [[חוג עם חילוק]]. כלומר, האם ניתן לשלש סימולטנית תת-חבורה (או ביתר כלליות מונואיד) של מטריצות הפיכות מעל חוג עם חילוק. Mochizuki הוכיח כי הטענה נכונה עבור תתי חבורות במאפיין אפס.

הראשונים לשאול את השאלה היו [[ארווינג קפלנסקי]] ו[[בוריס פלוטקין]]. ניסוח כללי יותר של השאלה, המתקשר גם אל [[איבר נילפוטנטי|איברים נילפוטנטיים]] וההוכחה לפי המשפט של ודרברן, הוא: נניח ש-<math>S \subseteq M_n(D)</math> היא תת-קבוצה של איבר נילפוטנטיים, כך שלכל <math>s_1 , s_2 \in S</math> מתקיים <math>s_1 s_2 + s_1 + s_2 \in S</math>. האם נובע <math>S^n=0</math>?

==לקריאה נוספת==
<div class="mw-content-ltr">
* Graduate Algebra: Noncommutative View, Rowen, p.60-62
* [https://web.archive.org/web/20100405071434/http://dmle.cindoc.csic.es/pdf/MATEMATICAIBEROAMERICANA_1986_02_03_03.pdf On Klochin's Theorem], I.N.Herstein, 1986
</div>

[[קטגוריה:משפטים באלגברה]]
[[קטגוריה:תורת החוגים]]