הצגת המקור של הדף "משפט קזוראטי-ויירשטראס"

'''משפט קזוראטי-ויירשטראס''' הוא [[משפט (מתמטיקה)|משפט מתמטי]] מתחום ה[[פונקציות מרוכבות|פונקציות המרוכבות]], הנותן מידע בדבר תמונת [[פונקציה הולומורפית]] בסביבה של [[נקודת סינגולריות עיקרית]].

המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האיטלקי פליס קזוראטי {{אנ|Felice Casorati (mathematician)}} והמתמטיקאי הגרמני [[קארל ויירשטראס]]. בספרות [[מתמטיקה|מתמטית]] [[רוסית]] המשפט קרוי משפט סוחוצקי, על שם המתמטיקאי הרוסי-פולני יוליאן סוחוצקי {{אנ|Julian Sochocki}}. 

==ניסוח==
תהי <math>f</math> פונקציה [[פונקציה הולומורפית|הולומורפית]] [[תחום (טופולוגיה)|בתחום]] <math>U \subset \mathbb{C}</math>, מלבד [[נקודת סינגולריות עיקרית]] אחת <math>z_0 \in U</math>. אזי לכל סביבה <math>V \subset U</math> של <math>z_0</math>, הקבוצה <math>f(V\ \backslash\ \{z_0\})</math> [[קבוצה צפופה|צפופה]] במישור המרוכב. למעשה קובע המשפט כי תנאי זה שקול להיות <math>z_0</math> [[נקודת סינגולריות עיקרית]] של <math>f</math>.

[[משפטי פיקארד|משפט פיקארד]] מחזק את המשפט, וקובע שתמונת פונקציה הולומורפית בסביבה נקובה של נקודת סינגולריות עיקרית, היא לא רק צפופה אלא ממש שווה למישור המרוכב כולו פרט אולי לנקודה אחת.

== הוכחה ==
ההוכחה היא על [[הוכחה בדרך השלילה|דרך השלילה]].

נניח בשלילה, שקיימת סביבה <math>S</math> של הנקודה <math>z_{0}</math>, בה <math>f</math> אנליטית פרט לנקודת סינגולריות עיקרית <math>z_{0}</math>, ו-<math>f(S)</math> לא צפופה במישור המרוכב.

כידוע, קבוצה היא צפופה במרחב [[אם ורק אם]] היא פוגשת כל [[קבוצה פתוחה]]. לכן, קיימים <math>a\in C</math> ו-<math>r>0</math>, כך ש-<math>f(S)\cap B(a,r)=\phi </math> (כאשר <math>B(a,r)</math> הוא [[כדור (טופולוגיה)|כדור פתוח]] ברדיוס <math>r</math> סביב הנקודה <math>a</math>). 

לכן, לכל <math>z\in S</math>, מתקיים <math>f(z)\notin B(a,r)</math>, לכן <math>|f(z)-a|>r</math>. לכן, בקבוצה <math>S</math> מוגדרת הפונקציה <math>r(z)=\frac { 1 }{ f(z)-a } </math>. מהגדרתה, הפונקציה אנליטית באופן מיידי בכל <math>S</math> פרט אולי ל-<math>z_{0}</math>. 

באשר ל-<math>z_{0}</math>, הפונקציה חסומה סביבה: <math>|r(z)|<\frac { 1 }{ r } </math>, לכן <math>z_{0}</math> נקודה סינגולרית סליקה של <math>r</math>. לכן קיים <math>L \in C</math>, כך ש-<math>\lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ r(z) } =L</math>.

נפריד למקרים - אם <math>L \neq 0</math>, אז מכך ש-<math>f(z)=a+\frac { 1 }{ r(z) } </math> נקבל <math>\lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ f(z) } =a+\frac { 1 }{ L } </math>. 

אחרת, אם <math>L=0</math> נקבל כי <math>\lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ f(z) } =\infty </math>. שני המקרים מובילים לסתירה, שכן גבול הפונקציה בנקודה סינגולרית עיקרית לא קיים כלל.

==דוגמה==

* נביט בפונקציה האנליטית <math>{ e }^{ \frac { 1 }{ z }  }:\mathbb{C}-\{ 0\} \rightarrow \mathbb{C}</math>. ניתן לוודא על ידי פתרון ישיר, כי תמונת הפונקציה היא <math>\mathbb{C}-\{ 0\} </math>. תוצאה זו צפויה ממשפט פיקארד, שכן לא ייתכן שהנקודה 0 תתקבל, ולכן כל שאר הנקודות חייבות להתקבל. בפרט, התמונה ודאי צפופה ב-<math>\mathbb{C}</math>.

==ראו גם==
[[משפטי פיקארד]]

[[קטגוריה:משפטים באנליזה מרוכבת|קזוראטי-ויירשטראס]]

[[zh:Sokhatsky–Weierstrass定理]]