הצגת המקור של הדף "משפט קיילי"

ב[[תורת החבורות]], '''משפט קיילי''' קובע שכל [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] איזומורפית לתת-חבורה של [[החבורה הסימטרית|חבורה סימטרית]] כלשהי, וכך מציג את החבורה כ[[החבורה הסימטרית|חבורת תמורות]]. המשפט בפרט מראה שאפשר להבין את כל החבורות הסופיות באמצעות טיפול אחיד ב[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]], והוא נחשב לאחד מ"משפטי ההצגה" הקלאסיים: כל עצם מופשט (חבורה) הוא למעשה אובייקט קונקרטי ומוכר.

==היסטוריה==
בעבודתו של [[אווריסט גלואה]] (בסביבות 1830), החבורה נתפסת כקבוצה קונקרטית של תמורות. ב-[[1854]] כתב המתמטיקאי [[ארתור קיילי]] שני מאמרים קצרים על מושג החבורה{{הערה|On the theory of groups, as depending on the symbolic equation <math>\theta^n=1</math>, חלקים 1 ו-2}}. במאמר הראשון הוא מגדיר חבורה (סופית) על-פי ה[[פעולה אסוציאטיבית|אסוציאטיביות]] וההפיכות של כל האיברים, כלומר, כאובייקט מופשט. קיילי מציג את הדוגמאות שלו דרך לוח כפל, ומעיר שכל איבר הוא למעשה תמורה על אברי החבורה. בכך הוא רומז שכל חבורה (במובן המודרני, האקסיומטי, של המושג) היא למעשה חבורה של תמורות, אף על פי שאינו מוכיח את המשפט במפורש. אכן, [[ויליאם ברנסייד]] (בספרו מ-1911) מייחס את המשפט ל[[קאמי ז'ורדן]], שסיפק לו הוכחה מפורשת ב-[[1870]].

==העידון של משפט קיילי==
לפי משפט קיילי, אפשר לשכן חבורה מסדר <math>n</math> כתת-חבורה של החבורה הסימטרית <math>S_n</math>. ההוכחה מבוססת על [[פעולת חבורה|פעולה נאמנה]] הנקראת "הפעולה הרגולרית של החבורה על עצמה" (ראו [[משפט קיילי#הוכחה|להלן]]).

למשפט יש הכללה חשובה, הידועה בשם ה'''עידון של משפט קיילי''': אם ל-<math>G</math> יש תת-חבורה <math>H</math> מאינדקס <math>n</math>, אז יש העתקה <math>\varphi:G\to S_n</math> שה[[גרעין (אלגברה)|גרעין]] שלה הוא הליבה של <math>H</math>: חיתוך תת-החבורות של <math>G</math> הצמודות ל-<math>H</math>, כלומר <math>\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}</math>. הוכחת העידון מתקבלת מניתוח הפעולה של <math>G</math> על אוסף המחלקות <math>G/H</math> על ידי כפל משמאל: <math>g:xH\mapsto gxH</math>.

מסקנה מיידית ממשפט העידון של קיילי הוא שלחבורה עם תת-חבורה מאינדקס <math>n</math> מוכרחה להיות [[תת-חבורה נורמלית]] מאינדקס המחלק את <math>n!</math>. אכן, לפי משפט [[משפטי האיזומורפיזם|האיזומורפיזם]] הראשון נקבל כי <math>G/\ker(\varphi)\cong\text{Im}(\varphi)\le S_n</math>, ולכן <math>[G:\ker]=|\text{Im}(\varphi)|\ |\ |S_n|=n!</math>. בפרט, [[חבורה פשוטה]] לא-[[חבורה אבלית|אבלית]] המכילה תת-חבורה מאינדקס <math>n</math> משוכנת ב-<math>S_n</math> ולכן הסדר שלה מחלק את <math>n!</math>.

==הוכחה==
תהא <math>(G,*)</math> חבורה סופית מסדר <math>n</math>.

ראשית, עבור <math>g\in G</math> נגדיר פונקציה <math>f_g:G\to G</math> כאשר <math>f_g(x)=g*x</math> לכל <math>x\in G</math>.
#ה[[פונקציה חד-חד-ערכית]]: אם <math>f_g(x_1)=f_g(x_2)=g*x_1=g*x_2</math> אזי <math>x_1=x_2</math>.
#ה[[פונקציה על]]: לכל <math>x\in G</math> קיים איבר <math>g^{-1}*x\in G</math> עבורו <math>f_g(g^{-1}*x)=g*(g^{-1}*x)=x</math>.
לכן <math>f</math> היא תמורה על איברי <math>G</math>. ההעתקה <math>g \mapsto f_g</math> היא שיכון של G לתוך חבורת התמורות של G.

==דוגמה==
נבחר את החבורה  <math>G=\Z_4</math> ונשכן אותה ב-<math>S_4</math>, כלומר נמצא תת-חבורה של <math>S_4</math> ש[[איזומורפיזם|איזומורפית]] ל-<math>G</math>.

נגדיר העתקה <math>\varphi:\Z_4\to S_4</math>.
:<math>\begin{align}\varphi(0)=\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmatrix}\\
\varphi(1)=\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmatrix}\\
\varphi(2)=\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmatrix}\\\varphi(3)=\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmatrix}\end{align}</math>

התמורות שהגדרנו אינן מקריות, בנינו אותן כך שהתמורה <math>\varphi(i)</math> מעבירה את המספר <math>j</math> ל-<math>i+j</math> (הסכום בחבורה <math>\Z_4</math>, כלומר מודולו 4).

==ראו גם==
*[[הלמה של יונדה]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:משפטים בתורת החבורות|קיילי]]