הצגת המקור של הדף "משפט רושה-קפלי"

'''משפט רושה-קפלי''' הוא משפט בסיסי ב[[אלגברה ליניארית]] המאפיין את הפתרונות של [[מערכת משוואות ליניאריות]]. המשפט קובע [[תנאי הכרחי ומספיק]] לקיום פתרון של [[מערכת משוואות ליניאריות]], וכן את ה[[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] של [[מרחב וקטורי|מרחב]] הפתרונות.

המשפט נקרא '''משפט [[אז'ן רושה|רושה]]-[[אלפרדו קפלי|קפלי]]''' ב[[איטליה]], '''משפט [[לאופולד קרונקר|קרונקר]]-קפלי''' ב[[רוסיה]], '''משפט רושה-פונטן''' ב[[צרפת]] ו'''משפט רושה-[[פרדיננד גאורג פרובניוס|פרובניוס]]''' ב[[ספרד]].

==נוסח פורמלי==

נתונה מערכת משוואות ליניאריות מהצורה הכללית הבאה:
:<math>\begin{alignat}{7}
a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\
a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\
\vdots\;\;\; &&     && \vdots\;\;\; &&                && \vdots\;\;\; &&     &&& \;\vdots \\
a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2   &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m \\
\end{alignat}</math>


נסמן ב-<math>[A]</math> [[מטריצה|מטריצת]] המקדמים הסקלריים, ב-<math>\mathbf{x}</math> את וקטור המשתנים וב-<math>\mathbf{b}</math> את וקטור המקדמים החופשיים:

: <math>
[A]=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix},\quad

\mathbf{x}=
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{bmatrix},\quad

\mathbf{b}=
\begin{bmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{bmatrix}
</math> 


המשפט קובע כי למערכת המשוואות <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> קיים פתרון, [[אם ורק אם]] ה[[דרגה (אלגברה ליניארית)|דרגה של המטריצה]] <math>[A]</math>, שווה לדרגה של המטריצה <math>[A|\mathbf{b}]</math>, המתקבלת מהוספת <math>\mathbf{b}</math> כעמודה ב-<math>[A]</math>. כלומר, <math>\operatorname{rank}[A]=\operatorname{rank}[A|\mathbf{b}]</math>.

כמו כן, כאשר יש פתרונות הם מהווים [[מרחב אפיני]] מממד <math>n-\operatorname{rank}[A]</math> (הזזה של [[מרחב וקטורי]] מאותו ממד). בפרט כאשר <math>n=\operatorname{rank}[A]</math> המרחב הוא אפס ממדי ויש פתרון אחד בלבד. אחרת, יש אינסוף פתרונות.

==הוכחה==

===חלק ראשון===

הוכחה כי למערכת המשוואות קיים פתרון אם ורק אם הדרגה של <math>[A]</math> שווה לדרגה של <math>[A|\mathbf{b}]</math>.

;כיוון אחד של השקילות
נניח כי למערכת <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> יש פתרון <math>\mathbf{c}</math>. כלומר, מתקיים כי <math>A\mathbf{c}=\mathbf{b}</math>.

נבטא זאת באופן מפורש:
:<math>\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}c_1  + \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}c_2 + \ldots +\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}c_n =
 \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}</math>

מכאן ש-<math>\mathbf{b}</math> הוא [[צירוף ליניארי]] של העמודות של <math>[A]</math>. כלומר הוא שייך למרחב ש[[פרישה ליניארית|נפרש]] על ידי וקטורי העמודות, ולכן ממד מרחב העמודות (הוא הדרגה של <math>[A]</math>) נשמר כנדרש.

;כיוון שני של השקילות
נניח כי הדרגה אחרי הוספת <math>\mathbf{b}</math> זהה. כלומר <math>\dim \mathrm{Span}(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \ldots , \mathbf{a_{n}})=\dim \mathrm{Span}(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \ldots , \mathbf{a_{n}}, \mathbf{b})</math>, כאשר <math>\mathbf{a_1},\mathbf{a_{2}},\ldots,\mathbf{a_n}</math> הם העמודות של <math>[A]</math>.

<math>\mathrm{Span}(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \ldots , \mathbf{a_{n}})</math> הוא תת-מרחב וקטורי של <math> \mathrm{Span}(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \ldots, \mathbf{a_{n}}, \mathbf{b})</math>, ומכיוון שממדיהם שווים הם בהכרח שווים.{{הערה|קבוצת וקטורי ה[[בסיס (אלגברה)|בסיס]] של התת-מרחב היא [[תלות ליניארית|בלתי תלויה]] ומספר הווקטורים בה שווה לממד המרחב, ולכן היא פורשת גם את המרחב כולו.}}

הוכחנו ש-<math> \mathrm{Span}(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \ldots , \mathbf{a_{n}}, \mathbf{b})=\mathrm{Span}(\mathbf{a_{1}}, \mathbf{a_{2}}, \ldots , \mathbf{a_{n}})</math>, ולכן <math>\mathbf{b}</math> הוא צירוף ליניארי של הווקטורים <math>\mathbf{a_1},\mathbf{a_{2}},\ldots,\mathbf{a_n}</math>. מקדמי הצירוף <math>
{(c_1, c_2, ..., c_n)}</math> מהווים פתרון למערכת המשוואות <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math>.

===חלק שני===

הוכחה כי קיים למערכת המשוואות פתרון יחיד אם ורק אם <math>n=rank[A]</math>.

;כיוון ראשון של השקילות
נניח כי עבור המערכת <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> קיים פתרון יחיד, ונניח בשלילה כי <math>\operatorname{rank}[A]<n</math>.{{הערה|לא ייתכן כי <math>\operatorname{rank}[A]>n</math>, כי קיימים רק n איברים בקבוצה הנפרשת <math>\mathrm{Span}(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})</math>.}}

מההנחה כי <math>\operatorname{rank}[A]<n</math> נובע שעבור המערכת <math>A\mathbf{x}=\mathbf{0}</math> קיימים לפחות שני פתרונות. זה עומד בסתירה להנחה שלמערכת <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> יש פתרון יחיד, כי אם <math>\mathbf{x}</math> פתרון שלה, הרי שגם אם נוסיף לו כל אחד משני הפתרונות של המערכת שערכה <math>\mathbf{0}</math> נקבל את אותה תוצאה.

;כיוון שני של השקילות
נניח כי <math>rank[A]=n</math>, ונניח בשלילה שלמערכת <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> קיימים שני פתרונות שונים.

מהנתון <math>rank[A]=n</math> נובע כי למערכת <math>A\mathbf{x}=\mathbf{0}</math> יש פתרון יחיד - הפתרון הטריוויאלי <math>\mathbf{0}</math>. אם נבחן את ההפרש של שני הפתרונות של <math>A\mathbf{x}=\mathbf{b}</math> נקבל גם כן <math>\mathbf{0}</math>, ולכן בהכרח שני הפתרונות שווים.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:משפטים באלגברה ליניארית]]
[[cs:Soustava lineárních rovnic#Frobeniova věta]]