הצגת המקור של הדף "משפט שלושת הטורים של קולמוגורוב"

{{סימון מתמטי}}

ב[[תורת ההסתברות]] ובפרט ב[[תהליכים מקריים]], '''משפט שלושת הטורים של [[אנדריי קולמוגורוב|קולמוגורוב]]''' מתאר קריטריון המאפיין [[התכנסות בהסתברות]] של [[תהליך מקרי]].

אחת ההוכחות של [[החוק החזק של המספרים הגדולים]] עושה שימוש במשפט זה יחד עם [[הלמה של קרונקר]].{{הערה|Durrett, Rick. "Probability: Theory and Examples." Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005, Section 1.8, pp. 60–69.}}

המשפט קרוי על שמו של המתמטיקאי ה[[רוסי]] [[אנדריי קולמוגורוב]].

==נוסח פורמלי==

תהי <math>\left( X_n \right)_{n=1}^{\infty}</math> סדרה של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] [[תלות (הסתברות)|בלתי-תלויים]] ב[[מרחב הסתברות]] <math>\left( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P} \right)</math>. מתקיים כי ה[[טור (מתמטיקה)|טור]] <math>\sum_{n=1}^{\infty} X_n</math> [[התכנסות כמעט בכל מקום|מתכנס כמעט בוודאות]], אם ורק אם קיים קבוע <math>A > 0</math>, כך שמתקיימים שלושת התנאים הבאים גם יחד:
# הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P} \left( \left| X_n \right| \geq A \right)</math> מתכנס.
# נסמן <math>Y_n = X_n \cdot 1_{ \left\{ \left| X_n \right| \leq A \right\} }</math>. הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{E} \left[ Y_n \right]</math> מתכנס.
# הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{Var} \left( Y_n \right)</math> מתכנס.

==הוכחה==

בכיוון ראשון, נראה כי אם שלושת התנאים מתקיימים אז הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} X_n</math> מתכנס. מתנאי 1 יחד עם [[הלמה של בורל-קנטלי]] נובע כי <math>X_n = Y_n</math> בהסתברות 1 עבור כל <math>n \in \mathbb{N}</math> גדול מספיק. מתנאים 3-2 יחד עם [[משפט שני הטורים של קולמוגורוב]] נובע כי הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} Y_n</math> מתכנס בהסתברות.

בכיוון השני, נראה כי אם הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} X_n</math> מתכנס בהסתברות אז שלושת התנאים שבמשפט מתקיימים:
# נשים לב כי במקרה זה הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P} \left( \left| X_n \right| \geq A \right)</math> מתכנס עבור ''כל'' <math>A > 0</math>, שכן אם היה איזשהו <math>A > 0</math> שעבורו טור זה לא היה מתכנס, אז היינו מקבלים מ[[הלמה של בורל-קנטלי]] כי המאורע <math>\left\{ X_n \geq A \right\}</math> מתרחש עבור אינסוף אינדקסים, ולכן היה נובע כי הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} X_n</math> מתבדר בהסתברות, בסתירה להנחה.
# נראה כי תנאי 3 גורר את תנאי 2. מתנאי 1 המופעל למשל עבור <math>A = 1</math>, ואם נניח שמתקיים תנאי 3, אז מ[[משפט שני הטורים של קולמוגורוב]] נובע כי הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \left( Y_n - \mathbf{E} \left[ Y_n \right] \right)</math> מתכנס בהסתברות. אבל מתנאי 1 יחד עם התכנסות בהסתברות הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} X_n</math> נובע כי <math>\sum_{n=1}^{\infty} Y_n</math> מתכנס בהסתברות (מנימוק דומה לזה שבכיוון הראשון של ההוכחה), ולכן בהכרח גם <math>\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{E} \left[ Y_n \right]</math> מתכנס.
# תחילה נראה כי ניתן להניח [[ללא הגבלת הכלליות]] כי <math>\mathbf{E} \left[ Y_n \right] = 0</math>. נסמן <math>Y_n'</math> משתנה מקרי בלתי-תלוי ב-<math>Y_n</math> ובעל אותה ההתפלגות. אזי אם נסמן <math>Z_n = Y_n - Y_n'</math>, נקבל סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים וחסומים על ידי <math>2</math> (שכן <math>Y_n, Y_n'</math> שניהם חסומים על ידי <math>1</math>). כמו כן מתקיים <math>\mathbf{Var} \left( Z_n \right) = 2 \mathbf{Var} \left( Y_n \right)</math>, וכן גם הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} Z_n = \sum_{n=1}^{\infty} Y_n - \sum_{n=1}^{\infty} Y_n'</math> מתכנס בהסתברות. אם כך נראה כי תנאי 3 מתקיים עבור <math>\left( Z_n \right)_{n=1}^{\infty}</math>, כלומר שהטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \mathbf{Var} \left( Z_n \right)</math> מתכנס. דבר זה נראה באופן כללי בלמה הבאה.

===למת עזר===

'''למה:''' תהי <math>\left( Z_n \right)_{n=1}^{\infty}</math> סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי תוחלת אפס ובעלי שונויות שנסמן <math>\mathbf{Var} \left( Z_n \right) = \sigma_n^2</math>, החסומה בהסתברות על ידי קבוע <math>C > 0</math> כלשהו. אם הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}Z_n</math> מתכנס (בהסתברות) אזי הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_n^2</math> מתכנס.

'''הוכחה:''' נסמן <math>S_i = Z_1 + Z_2 + \dots + Z_i</math>. עבור כל <math>L > 0</math> נגדיר <math>\tau_L = \min \left\{ i \geq 0 \mid \left| S_i \right| \geq L \right\}</math>. מההנחה בלמה לגבי החסימות, נובע כי <math>\mathbb{P} \left( \tau_L = \infty \right) \to 1</math> כאשר <math>L \to \infty</math>. כמו כן אם <math>\tau_L < \infty</math> אז <math>\left| S_{\tau_L} \right| \leq L+C</math>.

היות שהנחנו כי התוחלות הן אפס וכי יש אי-תלות, נובע כי,
<math display="block">\mathbf{E} \left[ S_n^2 \right] = \sum_{i=1}^{n} \mathbf{E} \left[ Z_i^2 \right] + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbf{E} \left[ Z_i \cdot Z_j \right] = \sum_{i=1}^{n} \sigma_i^2</math>

נסמן <math>n \wedge \tau_L = \min \left\{ n, \tau_L \right\}</math>, ואם נחליף את <math>n</math> ב-<math>n \wedge \tau_L</math>, נקבל כי,
<math display="block">\mathbf{E} \left[ S_{n \wedge \tau_L}^2 \right] = \mathbf{E} \left[ \left( \sum_{j=1}^{n} Z_j \cdot 1_{ \left\{ j \leq \tau_L \right\} } \right)^2 \right] = \sum_{j=1}^{n} \mathbf{E} \left[ Z_j^2 \cdot 1_{ \left\{ j \leq \tau_L \right\} } \right] + 2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbf{E} \left[ Z_i \cdot Z_j \cdot 1_{ \left\{ j \leq \tau_L \right\} }\right]</math>

נשים לב כי המאורע <math>\left\{ j \leq \tau_L \right\} = \left\{ \tau_L < j-1 \right\}^c</math> נקבע על ידי <math>Z_1, Z_2, \dots, Z_{j-1}</math>, ולכן הוא בלתי-תלוי ב-<math>Z_j</math>. אם כך נקבל,
<math display="block">\left( L+C \right)^2 \geq \mathbf{E} \left[ S_{n \wedge \tau_L}^2 \right] = \sum_{j=1}^{n} \sigma_j^2 \cdot \mathbb{P} \left( j \leq \tau_L \right) +2 \sum_{1 \leq i < j \leq n} \mathbf{E} \left[ Z_i \cdot 1_{ \left\{ j \leq \tau_L \right\} } \right] \cdot \mathbf{E} \left[ Z_j \right] \geq  \mathbb{P} \left( \tau_L = \infty \right) \cdot \sum_{j=1}^{n} \sigma_j^2</math>

אם כך נבחר <math>L > 0</math> גדול דיו כך שיתקיים <math>\mathbb{P} \left( \tau_L = \infty \right) > 0</math>, ואם נשאיף <math>n \to \infty</math> נקבל כי הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_n^2</math> מתכנס, כנדרש.

==דוגמה==

באמצעות משפט זה ניתן למצוא התנהגות מפתיעה של הגרסה האקראית של [[הסדרה ההרמונית#טורים דומים|הטור ההרמוני המתחלף]], השונה מההתנהגות המוכרת של הטור ההרמוני המתחלף. מ[[מבחן לייבניץ]] להתכנסות טורים אנו יודעים כי הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right)^n \frac{1}{n}</math> מתכנס וכמותו גם הטור <math>\sum_{n=1}^{\infty} \left( -1 \right)^n \frac{1}{\sqrt{n}}</math> מתכנס. עם זאת נראה כי אם הסימנים אינם מתחלפים באופן דטרמיניסטי אלא מוגרלים אקראית, אפילו אם הם מוגרלים בהסתברות שווה — מתגלה התנהגות שונה.

נתבונן בטור שבו הסימן של כל איבר נקבע בצורה אקראית. כלומר, תהי <math>\left( \mathbf{s}_n \right)_{n=1}^{\infty}</math> סדרה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, בעלי ההתפלגות <math>\mathbb{P} \left( \mathbf{s}_n = +1 \right) = \mathbb{P} \left( \mathbf{s}_n = -1 \right) = \frac{1}{2}</math>. נקבע איזושהי סדרה של מספרים חיוביים <math>\left( a_n \right)_{n=1}^{\infty}</math> המתכנסת מונוטונית לאפס. לא קשה לראות ששני התנאים הראשונים מתקיימים תמיד (עבור כל בחירת קבוע <math>A>0</math>), וכי התנאי השלישי הוא שהטור <math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2</math> יתכנס.

אם כך עבור הטור ההרמוני האקראי המתקבל מהסדרה <math>a_n = \frac{1}{n}</math> תנאי זה מתקיים ולכן הוא מתכנס, בעוד שעבור הטור האקראי המתקבל מהסדרה <math>a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}</math> תנאי זה אינו מתקיים ולכן הוא מתבדר. באופן כללי יותר, הטור האקראי המתקבל מהסדרה <math>a_n = \frac{1}{n^\alpha}</math> מתכנס אם ורק אם <math>\alpha \geq 1/2</math>.

==קישורים חיצוניים==

<div class="mw-content-ltr">
* Rongfeng Sun, Lacture notes on Probability Theory, [https://web.archive.org/web/20180417203143/http://www.math.nus.edu.sg/~matsr/ProbI/Lecture4.pdf Lacture 4]
</div>

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:משפטים בתורת ההסתברות]]