הצגת המקור של הדף "משתנה מציין"

ב[[הסתברות]], '''משתנה מציין''', או '''משתנה אינדיקטור''', הוא [[משתנה מקרי]] שמציין האם [[מאורע]] מסוים התרחש. כאשר המאורע התרחש, הערך שלו הוא <math>\ 1</math>, וכאשר המאורע לא התרחש ערכו <math>\ 0</math>.

כך, נקבל כי ה[[התפלגות]] של <math>\ X</math>, משתנה מציין למאורע <math>\ A</math>, היא <math>\ P(X=x) = \left\{\begin{array}{lc}P(A) & x=1\\1-P(A)&x=0\end{array}\right.</math>. מכך נובע כי ה[[תוחלת]] של <math>\ X</math> היא <math>\ E[X]=P(A) \cdot 1 + (1-P(A)) \cdot 0 = P(A)</math>.

== שימוש ==
המשתנה המציין שימושי למשל כאשר מעוניינים לחשב [[תוחלת]] או שונות של [[משתנה מקרי]] שניתן לבטאו כסכום של משתנים מציינים. ואז ניתן להיעזר ב[[תוחלת#תכונות התוחלת|ליניאריות התוחלת]] ולהגיע לתוחלת משתנה זה, אם ידועה ההסתברות להתרחשות המאורעות שהמשתנים המציינים מייצגים.

חישוב [[תוחלת]] על ידי אינדיקטורים: <math>\ E[X] = E[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n E[X_i] </math> 
חישוב [[שונות]] על ידי אינדיקטורים: <math>\ V[X] = V[\sum_{i=1}^n X_i] = \sum_{i=1}^n V[X_i] + 2\cdot \sum_{i<j}COV(X_i,X_j) </math>

== תכונות ==

=== תוחלת ===
ה[[תוחלת]] של כל אינדיקטור שווה לסיכוי שהוא יהיה שווה 1, כלומר: <math>\ E[X_i] = P(X_i =1) </math>.

'''הוכחה:'''

נביט ב[[פונקציית הסתברות|פונקציית ההסתברות]] השולית של X המוגדרת כ-P(X):
{| class="wikitable"
|+פונקציית הסתברות
!<math>P(Y)</math>
!<math>1</math>
!<math>0</math>
!<math>X \backslash Y</math>
|-
|<math>P(Y=0)</math>
|<math>P(X=0,Y=1)</math>
|<math>P(X=0,Y=0)</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>P(Y=1)</math>
|<math>P(X=1,Y=1)</math>
|<math>P(X=1,Y=0)</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>1</math>
|<math>P(X=1)</math>
|<math>P(X=0)</math>
|<math>P(X)</math>
|}

אז לפי הגדרת תוחלת:

<math>\ E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) = P(X=1) </math>

=== שונות ===
ה[[שונות]] של כל אינדיקטור שווה לסיכוי שהוא יהיה שווה 1 כפול הסיכוי שהוא יהיה שווה אפס, כלומר: <math>\ V[X_i] = P(X_i = 1)\cdot P(X_i =0) </math>

=== שונות משותפת ===
[[שונות משותפת|השונות המשותפת]] של 2 אינדיקטורים שווה לסיכוי שכל אחד מהם יהיה שווה אחד, פחות מכפלת ההסתברויות שכל אינדיקטור שווה 1, כלומר: <math>COV(X_i,X_j)= P(X_i = 1,X_j = 1)-P(X_i =1)P(X_j =1) </math>

==דוגמה==
להלן דוגמה לפתרון בעיה באמצעות משתנים מציינים. מוצגת הבעיה הבאה: פקיד רשלן צריך לשלוח <math>\ n</math> מכתבים ל- <math>\ n</math> יעדים. ברשותו של הפקיד <math>\ n</math> מעטפות ועליהן כתובים היעדים, כשכל מעטפה מתאימה ליעד אחד בדיוק. הפקיד מחלק את המכתבים למעטפות בצורה מקרית, כאשר ההתפלגות של המעטפה הנבחרת בכל שלב היא [[התפלגות אחידה בדידה|אחידה]]. יהא <math>\ X</math> מספר המעטפות שהגיעו ליעד. מה התוחלת של <math>\ X</math>?

===פתרון===

כאמור, נוח לפתור בעיה זאת באמצעות משתנים מציינים. נסמן <math>\ X_i</math> בתור המשתנה המציין המתאים למאורע שמכתב <math>\ i</math> הגיע ליעד. מאחר שההתפלגות אחידה, לכל מכתב ההסתברות שהוא הגיע ליעד היא <math>\frac{1}{n}</math>. נשים לב כי <math>\ X = \sum_{i=1}^n X_i</math>, לפיכך לפי ליניאריות התוחלת <math>\ E[X] = \sum_{i=1}^n E[X_i] = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} = \frac{1}{n} \cdot n = 1</math>.

==קישורים חיצוניים==

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:תורת ההסתברות]]