הצגת המקור של הדף "משתנים מקריים חילופיים"

ב[[הסתברות]] וב[[סטטיסטיקה]], '''[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] חילופיים''' היא סדרה <math>X_1,X_2,\ldots</math> (סופית או אינסופית) אם לכל [[תת סדרה]] סופית <math>X_1,X_2,\ldots,X_i</math>, מתקיים כי ההתפלגות המשותפת שלה [[שמורה (מתמטיקה)|שמורה]] תחת כל [[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]]. לדוגמה, כאשר <math>i=3</math> צריך להתקיים: <math display="block">F_{X_1 X_2 X_3 }(x_1, x_2, x_3 ) = F_{X_1 X_2 X_3 }(x_3, x_1, x_2 )</math>, כאשר <math display="inline">F_{X_1 X_2 X_3 }</math> היא פונקציית ההתפלגות המצטברת המשותפת של <math>X_1,X_2,X_3</math> ומוגדרת באמצעות,<math display="block">F_{X_1 X_2 X_3 }(x_1, x_2, x_3 ) =\Pr(X_1\leq x_1,X_2\leq x_2,X_3\leq x_3)</math>
== הגדרה ==
'''[[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] של [[משתנה מקרי|משתנים מקריים]] חילופיים''' היא סדרה <math>X_1,X_2,\ldots</math> (סופית או אינסופית) אם לכל [[תת סדרה]] סופית <math>X_1,X_2,\ldots,X_i</math>, ולכל תמורה <math>\sigma</math> על המספרים הטבעיים <math>1,\ldots,i</math> מתקיים <math display="inline">F_{X_1\ldots X_i }(x_1,\ldots, x_i ) =
F_{X_1 \ldots X_i }(x_{\sigma (1)},\ldots, x_{\sigma(i) })</math>.

סדרה <math>E_1,E_2,\ldots</math> של מאורעות חילופיים היא סדרה של מאורעות אשר סדרת [[פונקציה מציינת|המשתנים המציינים]] המתאימים חילופיים.

אולב קלנברג סיפק הגדרה של חילופיות ל[[תהליך סטוכסטי|תהליכים סטוכסטיים בזמן רציף]]. <ref>{{Cite journal|last=Diaconis|first=Persi|year=2009|title=Book review: ''Probabilistic symmetries and invariance principles'' (Olav Kallenberg, Springer, New York, 2005)|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|series=New Series|volume=46|issue=4|pages=691–696|doi=10.1090/S0273-0979-09-01262-2|doi-access=free}}</ref>

== היסטוריה ==
המושג החילופיות הוצג על ידי ויליאם ארנסט ג'ונסון בספרו מ-1924 ''Logic, Part III: The Logical Foundations of Science'' .<ref>{{ cite journal | title=Predicting the unpredictable | year=1992 | journal=Synthese | volume=90 | issue=2 | page=205 | doi=10.1007/bf00485351 | last1=Zabell | first1=S. L. | s2cid=9416747 }}</ref> החילופיות שקולה למושג הבקרה הסטטיסטית שהציג וולטר שוארט גם כן ב-1924.<ref>Barlow, R. E. & Irony, T. Z. (1992) "Foundations of statistical quality control" in Ghosh, M. & Pathak, P.K. (eds.) ''Current Issues in Statistical Inference: Essays in Honor of D. Basu'', Hayward, CA: Institute of Mathematical Statistics, 99-112.</ref><ref>Bergman, B. (2009) "Conceptualistic Pragmatism: A framework for Bayesian analysis?", ''IIE Transactions'', '''41''', 86–93</ref>

== חילופיות ומשתנים מקריים בלתי תלויים שווי התפלגות. ==
תכונת החילופיות קשורה קשר הדוק לשימוש ב[[משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות]] (Independent and Identically Distributed - iid). סדרה של משתנים מקריים שהם בלתי-תלויים ושווי-התפלגות, הם דוגמה פשוטה יחסית למשתנים חילופיים.

תערובת של סדרות משתנים מקריים חילופיים (ובפרט, סדרות של משתנים מקריים בלתי-תלויים ושווי-התפלגות) נותנת סידרה של משתנים חילופיים. ההפך הוא גם נכון עבור סדרות משתנים חילופיים אינסופיות.<ref name="ChowTeicher">In short, the order of the sequence of random variables does not affect its joint probability distribution.
</ref> (המשפט המקורי של דה פינטי הראה שזה נכון עבור משתנים מקריים מציינים. מאוחר יותר הורחב כך שיקיף את כל הסדרות של משתנים מקריים.)

== דוגמאות ==
* נניח שכד מכיל <math>n</math> כדורים אדומים ו <math>m</math> כדורים כחולים. ונניח שמוציאים באקראי מהכד, ללא החזרה, כדור אחרי כדור, עד שהכד ריק. נסמן ב-<math>X_i</math> את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה-<math>i</math> שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה <math>\left\{ X_i \right\}_{i=1, \dots, n+m}</math> היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים.
* נניח שכד מכיל <math>n</math> כדורים אדומים ו <math>m</math> כדורים כחולים. בכל פעם מוציאים באקראי כדור, ומחזירים אותו ועוד כדור באותו צבע לכד. נסמן ב-<math>X_i</math> את המשתנה המקרי המציין של המאורע שהכדור ה-<math>i</math> שהוצא מהכד היה אדום. הסדרה <math>\left\{ X_i \right\}_{i\in \N}</math> היא סדרה של משתנים מקריים חילופיים. [[מודל]] זה נקרא [[הכד של פוליה|כד פוליה]].
* למשתנים המקריים <math>(X, Y)</math> יש [[התפלגות רב-נורמלית|התפלגות נורמלית דו משתנית]] עם פרמטרים <math>\mu = 0</math>, <math>\sigma_x = \sigma_y = 1</math> ומקדם [[מתאם פירסון|מתאם]] שרירותי <math>\rho\in (-1, 1)</math> . המשתנים המקריים <math>X</math> ו <math>Y</math> חילופיים, אבל הם בלתי תלויים רק אם <math>\rho=0</math> . [[פונקציית צפיפות|פונקציית הצפיפות]] היא <math>f_{XY}(x, y) = f_{XY}(y, x) = \exp{\left( -\frac{x^2+y^2-2\rho xy}{2(1-\rho^2)}\right )}</math>

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:סוגי התפלגויות]]