הצגת המקור של הדף "מתמטיקה של קיפולי נייר"

אמנות '''קיפולי הנייר''', [[אוריגמי]], זכתה למחקר [[מתמטיקה|מתמטי]] ניכר. תחומי העניין המתמטיים כוללים את בדיקת היכולת לשטח את מודל ה[[נייר]] מבלי להזיק לו (ב[[אנגלית]]: flat-foldability) והשימוש בקיפולי הנייר על מנת לפתור [[משוואה|משוואות מתמטיות]]. המגבלות המקובלות בייצור דגמי אוריגמי יוצרות [[תנאי שפה]] רבים על יצירת דגמים, המאפשרים ניתוח מתמטי של תהליכי הקיפול.

==אתגרים מתמטיים==
קיימות בעיות מתמטיות רבות הנובעות מאמנות האוריגמי, וחלקן טרם נפתרו. למשל, '''בעיית הקיפול השטוח''', הבוחנת את אפשרות הקיפול של דגם דו-ממדי על פי תבנית קפלים נתונה. בעיה זו היא [[מחלקת סיבוכיות NPC|בעיה NP שלמה]]{{הערה|Marshall Bern and Barry Hayes, [http://graphics8.nytimes.com/packages/blogs/images/BernHayes-1.origami.SODA96.pdf '''The complexity of flat origami'''], Proceedings of the seventh annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms, 175–183, 1996|כיוון=שמאל}}{{הערה|Jonathan Schneider, [http://www.sccs.swarthmore.edu/users/05/jschnei3/origami.pdf#search=%22flat-foldability%22 '''Flat-Foldability of Origami Crease Patterns'''], Swarthmore College Computer Society, 2004|כיוון=שמאל}}. בעיה אחרת, בעלת חשיבות מעשית רבה, היא בעיית "האוריגמי הקשיח", הבוחנת אפשרות יצירת דגמים מיחידות נוקשות שמחוברות ביניהן בצירים. לפתרון בעיה זו שימושים רבים ב[[אדריכלות]] וב[[הנדסה]].

בנית מודלים של אוריגמי דורשת, בדרך-כלל, קיפולים חוזרים מעטים בלבד. אחד האתגרים בתחום זה, [[קיפול נייר לשניים]] בשכבות רבות, נפתר רק ב-[[2001]], על ידי בריטני גאליבן, בהיותה עדיין תלמידת תיכון. גאליבן ניסחה את [[פונקציית הפסד|פונקציית ההפסד]] עבור קיפול נייר לשניים בכיוון אחד. הפונקציה מבוטאת על ידי הנוסחה <math>L = \frac{\pi t}{6} (2^n + 4)(2^n - 1)</math>, כאשר "L" הוא האורך המינימלי של הנייר (או כל חומר אחר), "t" הוא עוביו של החומר, ו-"n" הוא מספר הקיפולים האפשריים. גאליבן הצליחה לקפל דף נייר לשניים 12 פעמים. הדעה המקובלת לפני כן הייתה שבלא התחשבות בסוג או בגודל הנייר ניתן לקפלו לא יותר משמונה פעמים.

==אקסיומות הוזיטה-האטורי==
[[קובץ:Origami cubic root extraction.png|שמאל|ממוזער|350px|חישוב שורש שלישי באמצעות שיקוף זוג נקודות לזוג ישרים: <math>\ x^3=a</math>.]]
בבסיס החקר המתמטי של האוריגמי עומדות שבע [[אקסיומה|אקסיומות]] המגדירות את הפעולות ה[[גאומטריה|גאומטריות]] האפשריות בתהליך הקיפול. שש האקסיומות הראשונות פורסמו ב-[[1992]] על ידי המתמטיקאי היפני-[[איטליה|איטלקי]], [[הומיאקי הוזיטה]]{{הערה|Humiaki Huzita, '''Understanding Geometry through Origami Axioms''', Proceedings of the First International Conference on Origami in Education and Therapy, J. Smith ed., British Origami Society, 1992, pp. 37–70|כיוון=שמאל}}. אקסיומה שביעית המשלימה את שש האקסיומות של הוזיטה נוסחה על ידי המתמטיקאי [[קושירו האטורי]]. בניסוח האקסיומות, כל שני אובייקטים מוגדרים להיות שונים (כלומר אם נאמר "בהינתן שתי נקודות", יש לקרוא זאת כ"בהינתן שתי נקודות שונות זו מזו"):

# בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, קיים קפל יחיד המחבר ביניהן.
# בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2, קיים קפל יחיד הממקם את P1 על גבי P2.
# בהינתן שני קווים L1 ו-L2, קיים קפל הממקם את L1 על גבי L2.
# בהינתן נקודה P וקו L, קיים קפל יחיד המאונך ל-L שעובר דרך P.
# בהינתן שתי נקודות P1 ו-P2 וקו L, כך שמרחקה של P2 מ-L אינו עולה על מרחקה מ-P1, ניתן ליצור קפל העובר דרך P2 שימקם את P1 על גבי L.
# בהינתן שתי נקודות, P1 ו-P2, ושני קווים, L1 ו-L2, ניתן ליצור (בתנאים מסוימים) קפל שימקם בו-זמנית את נקודה P1 על גבי L1 ואת נקודה P2 על גבי L2.
# בהינתן נקודה P1 ושני קווים L1 ו-L2, ניתן ליצור קפל מאונך ל-L2 שימקם את P1 על גבי L1.

שבע האקסיומות מאפשרות ניתוח של כל קפלי האוריגמי האפשריים תחת הנחה של קפלים ישרים בלבד המבוצעים על [[מישור (גאומטריה)|מישור]] כאשר בכל שלב מבוצע קיפול אחד בלבד. ככל הנראה חסרות אקסיומות נוספות כדי לנתח את כל קפלי האוריגמי האפשריים אם מאפשרים ביצוע סימולטני של מספר קפלים.

[[רוברט ג'. לאנג|רוברט ג. לאנג]] (Robert J. Lang) הראה דרך לחלוקת זווית לחמישה חלקים שווים באמצעות קיפולים החורגים מאקסיומות הוזיטה-האטורי. בשיטת הקיפול בה השתמש לאנג יוצרים שני קפלים סימולטנית, ומכאן רואים שהאקסיומות אינן מתארות את כל האפשרויות של דגמי אוריגמי במישור (דגמים במרחב מלכתחילה אינם כלולים). את האקסיומה החסרה שלאנג מדגים, ניתן לנסח כך: בהינתן 3 נקודות P2, P1 ו-P3 ושני קווים L1 ו-L2 ניתן ליצור שני קפלים L3 ו-L4 כך ש-L3 עובר דרך P3 ו-L4 ממקם את P1 על L1 ואת P2 על L3 כך ש-P2 נמצאת במרחק שווה מ-L2 ומ-L4.
<br />

בסיס תאורטי זה מאפשר תכנון של דגמי אוריגמי מורכבים על גבי [[מחשב]], פתרון משוואות ובעיות גאומטריות בעזרת אוריגמי ועוד{{הערה|Roger C. Alperin, [http://nyjm.albany.edu:8000/j/2000/6-8.pdf '''A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers'''], New York Journal of Mathematics, '''6''':119–133, 2000|כיוון=שמאל}}. לדוגמה, כך אפשר למצוא את השורש השלישי של מספר <math>\ a</math> באמצעות קיפולי נייר: ציירו [[מערכת צירים]] מאונכת על הדף; סמנו את הנקודות <math>\ (0,2)</math> ו-<math>\ (a,1)</math>. כעת הפעילו את האקסיומה השישית כדי למקם את הנקודה הראשונה על ציר ה-x, ואת הנקודה השנייה על הישר <math>\ x=-a</math>. שיקוף כזה (דרך הקו המקווקו באיור משמאל) מעתיק את הנקודה <math>\ (0,2)</math> לנקודה שמרחקה מראשית הצירים בדיוק <math>\ 2\sqrt[3]{a}</math>.

הפעולות המתוארות באקסיומות 1–5 ו-7 ניתנות לביצוע גם באמצעות [[בניה במחוגה וסרגל|מחוגה וסרגל]]: הן מתארות, בקירוב, העברת קו בין שתי נקודות (1), העברת [[אנך אמצעי]] (2), העברת [[חוצה זווית]] (3), הורדת [[אנך]] (4), העברת [[משיק]] ל[[פרבולה]] דרך נקודה נתונה (5), והעברת ישר [[ישרים מקבילים|מקביל]] (7). האקסיומה הנותרת, 6, מאפשרת למצוא משיק משותף לשתי פרבולות, פעולה השקולה לפתרון [[משוואה ממעלה שלישית]] (ולכן גם [[משוואה ממעלה רביעית|רביעית]]{{הערה|אפשר להגיע אל הפתרונות של משוואה ממעלה רביעית באמצעות שלוש פעולות של [[הוצאת שורש ריבועי]] ופעולה אחת של הוצאת שורש שלישי}}); לעומת זאת, במחוגה וסרגל אפשר לפתור רק [[משוואה ריבועית|משוואות ריבועיות]].

כמה מ[[הבעיות הגאומטריות של ימי קדם]], למשל [[שילוש זווית]] (חלוקת זווית נתונה לשלושה חלקים שווים) או בניית [[קובייה]] ש[[נפח]]ה כפול מזה של קובייה נתונה, הוכחו כבלתי-פתירות באמצעות [[בנייה בסרגל ובמחוגה]] בלבד, אבל ניתן לפותרן באמצעות מספר קיפולי נייר.

כתוצאה ממחקר אוריגמי באמצעות יישום של עקרונות גאומטריים, שיטות, כדוגמת [[משפט האגה]], אפשרו למקפלי נייר לקפל [[צלע (גאומטריה)|צלע]] של [[ריבוע]] לשליש, חמישית, שביעית ותשיעית מאורכה. כמה משפטים ושיטות אפשרו למקפלי נייר לקבל מריבוע צורות אחרות כדוגמת [[משולש שווה-צלעות|משולשים שווי צלעות]], [[מחומש]]ים, [[משושה|משושים]], ו[[מלבן|מלבנים]] מיוחדים כדוגמת [[מלבן הזהב]] ו[[מלבן הכסף]].

לבעיית ה"אוריגמי הקשיח", שבה מתייחסים אל הקפלים כאל [[ישר|ציר]]ים המחברים שני משטחים קשיחים שטוחים כדוגמת לוחות מתכת, יש חשיבות מעשית גדולה. לדוגמה, "קיפול המפה של מיורה" (Miura map fold) הוא קיפול קשיח שנעשה בו שימוש לפרישת [[לוח סולרי|לוחות סולריים]] גדולים עבור [[לוויין|לוויינים]].

קיפול מחדש של מודל שנפרש לחלוטין רק על סמך תבנית הקפלים ('''בעיית הקיפול השטוח''') הוכח על ידי [[מרשל ברן]] (Marshall Bern) ו[[ברי הייז]] (Barry Hayes) כ[[מחלקת סיבוכיות NPC|בעיה NP שלמה]], {{קישור כללי|כתובת=https://citeseer.ist.psu.edu/myciteseer/login|כותרת=CiteSeerX|שפה=en|תאריך_וידוא=2022-03-12|אתר=citeseer.ist.psu.edu}}. מידע נוסף ניתן למצוא בספר " Geometric Folding Algorithms: Linkages, Origami, Polyhedra".

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה|שם=Category:Origami mathematics|תצוגה=מתמטיקה של קיפולי נייר}}
* [http://www.bbc.com/future/story/20130510-nature-maths-better-origami Better origami using nature and maths] – אתר ה-[[BBC]]
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:אוריגמי]]
[[קטגוריה:טופולוגיה]]
[[קטגוריה:בעיות NP-שלמות]]

[[es:Matemáticas del origami]]