הצגת המקור של הדף "נגזרת חלקית"

ב[[חשבון אינפיניטסימלי]], '''נִגְזֶרֶת חֶלְקִית''' של [[פונקציה]] בכמה משתנים היא [[נגזרת]] של הפונקציה באחד ממשתניה, כאשר מתייחסים לשאר המשתנים כאל קבועים.
סימן הנגזרת החלקית [[∂]] הוא האות d המעוגלת, היא נקראת "די מסולסלת", "d עגולה" או "די" (כך נכתבת [[D|האות d]] קטנה [[Old English|בכתב לטיני-אנגלי ישן]]).

סימונים מקובלים נוספים לנגזרת החלקית על פי <math>\!\, x_k</math> הם <math>\!\, f_{x_k},f^{'}_{x_k}</math> וכן <math>\ \partial_{x_k} f \ \ , \ \ \partial_{k}f</math> כאשר <math>\ \partial_{x_k}</math> הוא [[אופרטור]] גזירה חלקית לפי המשתנה <math>\ x_k</math>.

'''הנגזרת החלקית השנייה''' לפי <math>x_i</math> ו-<math>x_j</math> היא הנגזרת החלקית לפי <math>x_i</math> של הנגזרת החלקית לפי <math>x_j</math>. כך אפשר להגדיר נגזרות חלקיות מכל סדר.

==דוגמאות==
#נביט בפונקציה <math>\!\, f(x,y)=x^y</math>. אם מסתכלים על הפונקציה בתור פונקציה של <math>\!\,x</math> בלבד, כאשר <math>\!\,y</math> קבוע, זוהי פונקציה של פולינום. לעומת זאת, כאשר מסתכלים עליה בתור פונקציה של <math>\!\,y</math> ועל <math>\!\,x</math> בתור קבוע, זוהי פונקציה מעריכית. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: <math>\!\,\frac{\partial f}{\partial x}=yx^{y-1},\frac{\partial f}{\partial y}=\ln x \cdot x^y</math>.
#נתבונן בפונקציה <math>\!\, f(x,y)=x</math>. לכאורה זוהי פונקציה במשתנה אחד, אך ניתן גם להתייחס אליה כפונקציה מרובת משתנים, כאשר היא קבועה לכל משתנה שאינו <math>\!\,x</math>. על כן, הנגזרות החלקיות שלה הן: <math>\!\,\frac{\partial f}{\partial x}=1,\frac{\partial f}{\partial y}=0</math>.

== מרחבי פונקציות ==

בדומה להיררכיה של [[פונקציה ממשית|פונקציות ממשיות]] במשתנה אחד, אפשר למיין גם פונקציות בכמה משתנים. 
* יש פונקציות רציפות בנקודה ללא נגזרות חלקיות, ופונקציות בעלות נגזרות חלקיות בנקודה שאינן רציפות.
* [[פונקציה דיפרנציאבילית]] בנקודה היא רציפה, ויש לה נגזרות חלקיות בנקודה זו לפי כל משתנה. 
* פונקציה בעלת נגזרות חלקיות רציפות בנקודה, היא דיפרנציאבילית (אבל יש פונקציות דיפרנציאביליות שהנגזרות החלקיות שלהן אינן רציפות). ה'''דיפרנציאל''' של f הוא התבנית <math>\!\,\frac{\partial f}{\partial x_1}dx_1+\cdots+\frac{\partial f}{\partial x_n}dx_n</math>. 
* אם פונקציה בשני משתנים F היא בעלת נגזרות חלקיות שניות רציפות בנקודה, אז הגזירות החלקיות מתחלפות: <math>\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial x}</math>. בכיוון ההפוך, אם P,Q הן פונקציות בעלות נגזרות חלקיות רציפות בנקודה, ומתקיים <math>\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}</math>, אז קיימת פונקציה F (בעלת נגזרות חלקיות שניות רציפות בנקודה) שהדיפרנציאל שלה הוא <math>dF = Pdx+Qdy</math>. עובדות אלו ניתנות כולן להכללה לכמה משתנים.

==שימושים==
ב[[אנליזה וקטורית]] וב[[פיזיקה]] הנגזרת החלקית משמשת ל[[אנליזה מתמטית]] של [[פונקציה|פונקציות]] המוגדרות מעל [[מרחב וקטורי]], ומציאת תכונות שונות של אותן פונקציות. נגזרת חלקית משמשת לכתיבת [[משוואה דיפרנציאלית חלקית|משוואות דיפרנציאליות חלקיות]]. בדרך כלל הנגזרות החלקיות יצורפו לאופרטור דיפרנציאלי, כמו [[גרדיאנט]], [[דיברגנץ]] או [[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]].

* ה[[גרדיאנט]] של פונקציה בנקודה מסוימת הוא [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] הנגזרות החלקיות שלה באותה נקודה. הגרדיאנט בנקודה <math>\ a</math> כלשהי יוגדר כך:

:<math>\operatorname{grad}f(a) = \vec{\nabla} f(a) = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \dots , \frac{\partial f}{\partial x_n}(a) \right)</math>

* ה[[דיברגנץ]] של פונקציה וקטורית <math>\ \vec f</math> (ב-R<sup>n</sup>) הוא פונקציה (ב-R<sup>1</sup>) המודדת את קצב השינוי במאונך לצירים. ב[[מערכת צירים קרטזית]] הדיברגנץ הוא [[מכפלה פנימית]] בין אופרטור הגרדיאנט לפונקציה הווקטורית:

:<math>\ \vec\nabla\cdot\vec f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial{x_i}}</math>.

* ה[[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]] הוא גודל דיפרנציאלי המודד את נטייתו של [[שדה וקטורי]] להסתובב סביב נקודה מסוימת. במערכת קרטזית:

: <math>\ \operatorname{curl} \left(\vec{F}\right) = \operatorname{rotor}\left(\vec{F}\right) = \vec{\nabla}\times\vec{F} =
\left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{x} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{y} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{z} </math>.

==ראו גם==
* [[נגזרת]]
* [[נגזרת כיוונית]]
* [[אנליזה וקטורית]]
* [[אינטגרל כפול]]

{{אנליזה מתמטית}}

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
* {{בריטניקה}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
[[קטגוריה:אופרטורים דיפרנציאליים]]