הצגת המקור של הדף "נוסחאות הכפל המקוצר"

'''נוסחאות הכפל המקוצר''' הוא שם קיבוצי, השגור בעיקר ב[[הוראת המתמטיקה]] ב[[בית ספר תיכון|בתי ספר תיכוניים]], שמציין כמה [[זהות (מתמטיקה)|זהויות מתמטיות]] המשמשות לפישוט [[ביטוי (מתמטיקה)|ביטוי]]ים אלגבריים.

הוכחת כל הנוסחאות מתבססת על שימוש [[אינדוקציה מתמטית|אינדוקטיבי]] ב[[חוק הפילוג]], [[פעולה אסוציאטיבית|חוק הקיבוץ]] ו[[פעולה קומוטטיבית|חוק החילוף]] ("פתיחת סוגריים וקיבוץ איברים").

==הבינום של ניוטון==
[[קובץ:ריבוע של סכום.svg|ממוזער|250x250 פיקסלים]]
שתי נוסחאות כפל מקוצר בסיסיות הן:
:<math>\begin{align}(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab +b^2\\(a\pm b)^3=a^3\pm 3a^2b+3ab^2\pm b^3\end{align}</math>
אלו הם מקרים פרטיים של נוסחת [[הבינום של ניוטון]]:
:<math>(a+b)^n=\sum_{k\,=\,0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k</math>
חישוב <math>(a-b)^n</math> נעשה באמצעות הצבת <math>-b</math> במקום <math>b</math> בבינום של ניוטון.

[[משפט המולטינום]] מאפשר לפתח את הביטוי המקביל למספר כלשהו של מחוברים.

==הפרש חזקות==
שתי נוסחאות כפל מקוצר בסיסיות נוספות הן:
:<math>a^2-b^2=(a-b)(a+b)</math> (זהות [[הפרש ריבועים]])
:<math>a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)</math> (כאשר <math>\mp</math> הוא הסימן ההפוך מ-<math>\pm</math>)
אלו מקרים פרטיים של הזהות הכללית:
:<math>a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\sum_{k\,=\,0}^{n-1}a^{n-1-k}b^k</math>
זהות המתקבלת מפתיחת סוגריים וצמצום [[טור (מתמטיקה)#טור טלסקופי|הטור הטלסקופי]] שמתקבל.

כאשר <math>n</math> מספר אי-זוגי ניתן לקבל זהות מקבילה <math>a^n+b^n=a^n-(-b)^n</math>, ועל ידי הצבת <math>-b</math> במקום <math>b</math> בזהות הקודמת מתקבל:
:<math>a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})=(a+b)\sum_{k\,=\,0}^{n-1}(-1)^ka^{n-1-k}b^k</math>
אם נתיר שימוש ב[[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]] ניתן לפתח זהות דומה גם למקרה ש-<math>n</math> זוגי מכיוון ש-<math>a^n+b^n=a^n-(w_nb)^n</math>, כאשר <math>w_n</math> הוא [[שורש של מספר|שורש]] מסדר <math>n</math> של <math>-1</math> (למשל: <math>w_n=\exp\left(\frac{\pi}{n}i\right)</math> לפי [[זהות אוילר]]).

==קישורים חיצוניים==
*[http://icalc.co.il/calculators/index.php/math-calculators/115-short-multiplication-formulas.html מחשבוני נוסחאות הכפל המקוצר]
*{{יוטיוב|7RMefNjjtU8|שם=למה משוואה ריבועית? והקשר בינה לנוסחאת הכפל המקוצר}}

[[קטגוריה:אלגברה בסיסית]]