הצגת המקור של הדף "נוסחאות ניוטון-קוטס"

[[קובץ:Simpson_rule.png|ממוזער| נוסחת ניוטון-קוטס עבור <math>n=2</math>]]
ב[[אנליזה נומרית]], '''הנוסחאות של ניוטון-קוטס''', הנקראות גם '''כללי הריבוע של ניוטון-קוטס''' או פשוט '''כללי ניוטון-קוטס''', הן קבוצה של נוסחאות [[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים|לאינטגרציה נומרית]] (נקראת גם ''ריבוע'') המבוססת על הערכת האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. הם נקראים על שם [[אייזק ניוטון]] ו[[רוג'ר קוטס]].

נוסחאות ניוטון-קוטס יכולות להיות שימושיות אם ניתן הערך של האינטגרנד בנקודות מרווחות באופן שווה. אם אפשר לשנות את הנקודות שבהן מוערך האינטגרנד, אז כנראה ששיטות אחרות כמו [[תרבוע גאוסיאני|תרבוע גאוס]] ו[[תרבוע  קלנשו-קרטיס]] {{אנ|Clenshaw–Curtis quadrature}} מתאימות יותר.

== תיאור ==
ההנחה היא שערך הפונקציה {{Mvar|f}} המוגדרת ב <math>[a, b]</math> ידוע ב <math>n + 1</math> נקודות שוות מרחק: <math>a \leq x_0 < x_1 < \dots < x_n \leq b</math> . ישנן שתי מחלקות של ריבוע ניוטון-קוטס: הן נקראות "סגורות" כאשר <math>x_0 = a</math> ו <math>x_n = b</math>, כלומר הן משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה של המרווחים, ו"פתוחות" כאשר <math>x_0 > a</math> ו <math>x_n < b</math>, כלומר הן לא משתמשות בערכי הפונקציה בנקודות הקצה. שימוש בנוסחאות ניוטון-קוטס באמצעות <math>n+1</math> נקודות ניתן להגדרה (עבור שתי המחלקות) כ- <ref>{{Cite book|last=Quarteroni|first=Alfio|title=Numerical Mathematics|last2=Sacco|first2=Riccardo|last3=Saleri|first3=Fausto|date=2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-34658-6|edition=Second|pages=386–387|author-link=Alfio Quarteroni}}</ref><math display="block">\int_a^b f(x)\, dx \approx \sum_{i = 0}^n w_i\, f(x_i),</math>כאשר
* עבור נוסחה סגורה, <math>x_i = a + ih</math>, עם <math>h = \frac{b - a}{n}</math> ,
* עבור נוסחה פתוחה, <math>x_i = a + (i + 1)h</math>, עם <math>h = \frac{b - a}{n + 2}</math> .

המספר {{Mvar|h}} נקרא ''גודל צעד'', <math>w_i</math> נקראות ''משקולות'' .

ניתן לחשב את המשקולות כאינטגרל של [[פולינום לגראנז'|פולינומי לגרנז' בסיסיים]]. הם תלויים רק ב <math>x_i</math> ולא על הפונקציה {{Mvar|f}} .

יהי <math>L(x)</math> פולינום האינטרפולציה בצורת לגראנז' עבור הנקודות <math>(x_0, f(x_0)), (x_1, f(x_1)), \ldots, (x_n, f(x_n))</math>, אזי<math display="block"> \int_a^b f(x)\, dx \approx \int_a^b L(x)\, dx = \int_a^b \left(\sum_{i = 0}^n f(x_i) l_i(x)\right)\, dx
= \sum_{i = 0}^n f(x_i) \underbrace{\int_a^b l_i(x)\, dx}_{w_i}.</math>

== חוסר יציבות לדרגה גבוהה ==
ניתן לבנות נוסחת ניוטון-קוטס בכל דרגה {{Mvar|n}} . עם זאת, עבור {{Mvar|n}} גדול כלל ניוטון-קוטס יכול לפעמים לסבול מ[[תופעת רונגה]] {{אנ|Runge's phenomenon}} <ref>{{Cite book|last=Quarteroni|first=Alfio|title=Numerical Mathematics|last2=Sacco|first2=Riccardo|last3=Saleri|first3=Fausto|date=2006|publisher=Springer|isbn=978-3-540-34658-6|edition=Second|pages=390–391|author-link=Alfio Quarteroni}}</ref> שבה השגיאה גדלה באופן אקספוננציאלי עבור {{Mvar|n}} גדול. שיטות כמו נצב גאוס וניצב קלנשאו-קרטיס עם נקודות מרווחות באופן לא שווה (מקובצות ''בנקודות הקצה'' של מרווח האינטגרציה) הן יציבות ומדויקות הרבה יותר, ובדרך כלל הן מועדפות על ניוטון-קוטס. אם לא ניתן להשתמש בשיטות אלו, מכיוון שהאינטגרנד ניתן רק ברשת הניתנת בחלוקה שווה, אז ניתן להימנע מהתופעה של Runge באמצעות כלל מורכב, כפי שיוסבר להלן.

לחלופין, ניתן לבנות נוסחאות ניוטון-קוטס יציבות באמצעות קירוב ריבועים קטנים במקום אינטרפולציה. כך ניתן לבנות נוסחאות יציבות מבחינה נומרית גם לדרגות גבוהות. <ref>{{Cite web|last=Pavel Holoborodko|date=2011-03-24|title=Stable Newton-Cotes Formulas|url=http://www.holoborodko.com/pavel/numerical-methods/numerical-integration/stable-newton-cotes-formulas/|access-date=2015-08-17}}</ref> <ref>{{Cite web|last=Pavel Holoborodko|date=2012-05-20|title=Stable Newton-Cotes Formulas (Open Type)|url=http://www.holoborodko.com/pavel/numerical-methods/numerical-integration/stable-newton-cotes-formulas-open-type/|access-date=2015-08-18}}</ref>

== נוסחאות סגורות של ניוטון-קוטס ==
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הסגור. עבור <math>0 \le i \le n</math>, יהי <math>x_i = a + ih</math> כאשר <math>h = \frac{b - a}{n}</math>, ו <math>f_i = f(x_i)</math>.
{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; text-align: center;"
|+'''נוסחאות ניוטון-קוטס סגורות'''
! {{Mvar|n}}
! גודל צעד {{Mvar|h}}
! שם נפוץ
! נוּסחָה
! מונח שגיאה
|-
| 1
| <math>b - a</math>
| כלל טרפז
| <math>\frac{1}{2} h(f_0 + f_1)</math>
| <math>-\frac{1}{12}h^3f^{(2)}(\xi)</math>
|-
| 2
| <math>\frac{b - a}{2}</math>
| כלל סימפסון
| <math>\frac{1}{3} h(f_0 + 4f_1 + f_2)</math>
| <math>-\frac{1}{90} h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 3
| <math>\frac{b - a}{3}</math>
| חוק 3/8 של סימפסון
| <math>\frac{3}{8} h(f_0 + 3f_1 + 3f_2 + f_3)</math>
| <math>-\frac{3}{80} h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 4
| <math>\frac{b - a}{4}</math>
| הכלל של בולה
| <math>\frac{2}{45} h(7f_0 + 32f_1 + 12f_2 + 32f_3 + 7f_4)</math>
| <math>-\frac{8}{945} h^7f^{(6)}(\xi)</math>
|}
הכלל של בולה מכונה לעיתים הכלל של בודה, כתוצאה מהפצת טעות דפוס ב־Abramowitz and Stegun, [[ספר עיון]] מוקדם. <ref>[http://mathworld.wolfram.com/BoolesRule.html Booles Rule at Wolfram Mathworld, with typo in year "1960" (instead of "1860")]</ref>

המעריך של גודל הצעד ''h'' ברכיב השגיאה מגדיר את הקצב שבו יורדת שגיאת הקירוב. סדר הנגזרת של ''f'' ברכיב השגיאה מגדיר את הדרגה הנמוכה ביותר של פולינום שלא ניתן עוד לשלב במדויק (כלומר בשגיאה שווה לאפס) עם הכלל הזה. את המספר <math>\xi</math> יש לקחת מהקטע (a, b ), לפיכך תחום השגיאה שווה לרכיב השגיאה כאשר <math>f(\xi) = \max(f(x)), a<x<b</math> .

== נוסחאות ניוטון-קוטס פתוחות ==
טבלה זו מפרטת כמה מהנוסחאות של ניוטון-קוטס מהסוג הפתוח. עבור <math>0 \le i \le n</math>, יהי <math>x_i = a + (i + 1)h</math> כאשר <math>h = \frac{b - a}{n + 2}</math>, ו <math>f_i = f(x_i)</math> .
{| class="wikitable" style="margin:1em auto 1em auto; text-align: center;"
|+'''פתח את נוסחאות ניוטון-קוטס'''
! {{Mvar|n}}
! גודל צעד {{Mvar|h}}
! שם נפוץ
! נוּסחָה
! מונח שגיאה
|-
| 0
| <math>\frac{b - a}{2}</math>
| כלל מלבן, או<br /><br /><br /><br /><nowiki></br></nowiki> כלל נקודת האמצע
| <math>2hf_0</math>
| <math>\frac{1}{3} h^3f^{(2)}(\xi)</math>
|-
| 1
| <math>\frac{b - a}{3}</math>
|
| <math>\frac{3}{2} h(f_0 + f_1)</math>
| <math>\frac{3}{4}h^3f^{(2)}(\xi) </math>
|-
| 2
| <math>\frac{b - a}{4}</math>
| כלל מילן
| <math>\frac{4}{3} h(2f_0 - f_1 + 2f_2)</math>
| <math>\frac{14}{45} h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|-
| 3
| <math>\frac{b - a}{5}</math>
|
| <math>\frac{5}{24} h(11f_0 + f_1 + f_2 + 11f_3)</math>
| <math>\frac{95}{144} h^5f^{(4)}(\xi)</math>
|}

== כללים מורכבים ==
כדי שחוקי ניוטון-קוטס יהיו מדויקים, גודל הצעד {{Mvar|h}} צריך להיות קטן, מה שאומר שמרווח האינטגרציה <math>[a, b]</math> חייב להיות קטן בעצמו, וזה לא נכון רוב הזמן. מסיבה זו, בדרך כלל מבצעים אינטגרציה נומרית על ידי פיצול <math>[a, b]</math> לתת-מרווחים קטנים יותר, החלת כלל ניוטון-קוטס על כל תת-מרווח, וחיבור התוצאות. זה נקרא ''כלל מורכב'' . ראה [[שיטות נומריות לחישוב אינטגרלים מסוימים|אינטגרציה נומרית]] .

== ראו גם==
* [[תרבוע (מתמטיקה)|ריבוע (מתמטיקה)]]
* [[אינטרפולציה]]
* [[אינטרפולציה של ספליין]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}
* מ. אברמוביץ ואי.א. סטגון, עורכים. <nowiki><i id="mwAQM">מדריך לפונקציות מתמטיות עם נוסחאות, גרפים וטבלאות מתמטיות</i></nowiki> . ניו יורק: דובר, 1972. ''(ראה סעיף 25.4.)''
* ג'ורג' אי פורסיית', מייקל א' מלקולם וקליב ב' מולר. ''שיטות מחשב לחישובים מתמטיים'' . Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977. ''(ראה סעיף 5.1.)''
*
* יוסף סטואר ורולנד בולירש. ''מבוא לניתוח נומרי'' . ניו יורק: ספרינגר-ורלג, 1980. ''(ראה סעיף 3.1.)''

== קישורים חיצוניים ==
* [http://www.math-linux.com/spip.php?article74 Newton–Cotes formulas] on www.math-linux.com
* Weisstein, Eric W. "Newton–Cotes Formulas". MathWorld.
* [http://www.numericalmathematics.com/integration_and_differentiation.htm Newton–Cotes Integration], numericalmathematics.com
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:אנליזה נומרית]]
[[קטגוריה:אינטגרלים]]