הצגת המקור של הדף "נוסחת אוילר-מקלורן"

'''נוסחת [[לאונרד אוילר|אוילר]]־[[קולין מקלורן|מקלורן]]''' היא [[נוסחה]], שמחשבת את ההפרש בין [[אינטגרל מסוים]] וה[[טור (מתמטיקה)|טור]] שקשור אליו. ניתן להשתמש בה כדי לתת קירוב לאינטגרלים מסוימים על ידי סכומים סופיים, או להפך להעריך סכומים [[טור (מתמטיקה)|סופיים וסדרות אינסופיות]] באמצעות אינטגרלים ומכונות [[חשבון אינפיניטסימלי|החשבון]]. לדוגמה, הרחבות אסימפטומטיות רבות נגזרות מהנוסחה, ו[[מספרי ברנולי|הנוסחה של ברנולי]] לסכום חזקות של מספרים עוקבים היא תוצאה מיידית.

הנוסחה התגלתה באופן עצמאי על ידי [[לאונרד אוילר|לאונהרד אוילר]] [[קולין מקלורן|וקולין מקלורן]] בסביבות 1735. אוילר נזקק לזה כדי לחשב סדרות אינסופיות המתכנסות באטיות, בעוד שמקלורן השתמש בה לחישוב אינטגרלים. מאוחר יותר הנוסחה הוכללה [[הנוסחה של דרבוקס|לנוסחה של דרבוקס]] מכיוון ששניהם לא הצליחו לבטא את שארית השגיאה.<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Kuat Yessenov|שם=Euler-Maclaurin Formula}}</ref>

=== רקע תאורטי ===
אינטגרל מסוים <math>I=\int_{a}^{b} f(x)dx</math> מחשב את השטח שמתחת לגרף של פונקציה <math>f(x)</math> כאשר <math>f(x)</math> היא פונקציה אינטגרבלית.
[[קובץ:Integral as region under curve.png|ממוזער|אינטגרל מסוים כשטח שמתחת לגרף בין [a,b].]]

בשביל לקבל קירוב לשטח נחלק את השטח למלבנים קטנים שפאה אחת של כל מלבן תהיה תת־קטע של הקטע [a,b] והפאה האנכית לה תהיה הערך של הפונקציה באחד הערכים שנמצאים בתת־הקטע שבחרנו. ניקח כל מלבן שיצרנו נחשב את שטחו שזה פשוט אורך כפול רוחב ונסכום את השטחים.

בעזרת השיטה הזאת שנקראת סכומי דארבו אפשר להגדיר אינטגרל מסוים (להרחבה [[אינטגרל מסוים]]) אנחנו נתמקד רק בקירוב שיצרנו ובמקרה בו a וb הם שלמים.

במקרה הזה נבחר לחלק את הקטע [a,b] לתת קטעים כאשר לכל <math>x>a,x+1<b,x\in\Nu</math>, [x,x+1] הוא תת־קטע שלנו.

אם נבחר את x להיות הערך עבורו נחשב את גובה המלבן אז יצא לנו שסכום דארבו שקיבלנו יהיה הסכום הבא: <math>\sum_{x=a}^{b-1} f(x)</math> ואם נבחר בכל מלבן דווקא את הערך ב־x+1 נקבל את הסכום הבא: <math>\sum_{x=a+1}^{b} f(x)</math>.

== הנוסחה ==
אם m,n הם [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] ו־<math>f(x)</math> היא פונקציה [[פונקציה ממשית|ממשית]] או [[פונקציה מרוכבת|מורכבת]] [[פונקציה רציפה (אנליזה)|רציפה]] לכל [[מספר ממשי]] הגדול מ־m וקטן מ־n אז האינטגרל:

<math>I=\int_{m}^{n} f(x)</math>

יכול להיות מקורב לפי הטור (או הטור לפי האינטגרל): <math display="block">S =f(m+1)+f(m+2)...+f(n-1)+f(n)=\sum_{x=m+1}^n f(x)</math>נוסחת אוילר־מקלורן נותנת בצורה מפורשת את ההפרש בין הטור S לאינטגרל בעזרת ה[[נגזרת|נגזרות]] של <math>f(x)</math>.

משמעות הנוסחה היא, שעבור <math>p</math> [[מספר שלם]] חיובי ופונקציה <math>f(x)</math> הניתנת לגזירה ברציפות <math>p</math> פעמים בקטע <math>[m, n]</math>, מתקיים:

<math display="block">S - I = \sum_{k=1}^p {\frac{B_k}{k!} (f^{(k - 1)}(n) - f^{(k - 1)}(m))} + R_p,</math>כאשר <math>{B_k}</math> הוא [[מספרי ברנולי|מספר ברנולי]] ה־k (כאשר <math>B_1=0.5</math>) <math>f^{(k-1)}</math>היא הנגזרת מסדר k-1 של <math>f(x)</math> ו־<math>R_p</math> הוא שארית השגיאה והוא תלוי ב־n,p,m.

מפני ש[[מספרי ברנולי]] במקומות האי זוגיים שווים ל־0 (חוץ מ־<math>B_1</math>) אפשר לרשום את הנוסחה גם בצורות הבאות:

<math display="block">\sum_{i=m}^n f(i) =
 \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) + f(m)}{2} +
 \sum_{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)) + R_p
</math>
או

<math display="block">\sum_{i=m+1}^n f(i) =
 \int^n_m f(x)\,dx + \frac{f(n) - f(m)}{2} +
 \sum_{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)) + R_p
</math>

== שארית השגיאה ==
<math display="block">R_p = (-1)^{p+1}\int_m^n f^{(p)}(x) \frac{P_p(x)}{p!}\,dx </math>כאשר <math>{P_k}(x)={B_k}(x-\lfloor x\rfloor)</math> ו־<math>B_k</math> הוא [[פולינום ברנולי]].

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]
[[קטגוריה:משפטים באנליזה]]
[[קטגוריה:הוכחות]]