הצגת המקור של הדף "נוסחת אוילר (שברים משולבים)"

בתאוריה האנליטית של [[שבר משולב|שברים משולבים]], '''נוסחת אוילר לשברים משולבים''' היא זהות מתמטית, הקושרת סכומים סופיים של מכפלות עם שברים משולבים מוכללים. הנוסחה מאפשרת להציג טורים אינסופיים מסוימים כשבר משולב. נוסחה זו היא הבסיס להוכחות מודרניות רבות של [[גבול (מתמטיקה)|התכנסות]] של שברים משולבים.

==הנוסחה==
[[לאונרד אוילר|אוילר]] הציג את הזהות במקור כמניפולציה מתמטית המאפשרת להציג סכומים סופיים של מכפלות כשבר משולב סופי:
:<math>a_0+a_0a_1+a_0a_1a_2+\cdots+a_0a_1a_2\cdots a_n=\cfrac{a_0}{1-\cfrac{a_1}{1+a_1-\cfrac{a_2}{1+a_2-\cfrac{\ddots}{\ddots+\cfrac{a_{n-1}}{1+a_{n-1}-\cfrac{a_n}{1+a_n}}}}}}</math>
קל להוכיח את הזהות באמצעות [[אינדוקציה]] על <math>n</math>, ולפיכך הזהות ישימה בגבול; אם הביטוי באגף שמאל מורחב ומייצג [[טור (מתמטיקה)|טור אינסופי]] מתכנס, הביטוי באגף ימין ייצג שבר משולב אינסופי מתכנס.

==דוגמאות==
===הפונקציה האקספוננציאלית===
פונקציית ה[[אקספוננט]] ניתנת להצגה כפיתוח לטור אינסופי:
:<math>e^z=1+\sum_{n\,=\,1}^\infty\frac{z^n}{n!}=1+\sum_{n\,=\,1}^\infty\left(\prod_{k\,=\,1}^n\frac{z}{k}\right)</math>
היישום של [[זהות אוילר]] הוא מיידי:
:<math>e^z=\cfrac{1}{1-\cfrac{z}{1+z-\cfrac{\frac{1}{2}z}{1+\frac{1}{2}z-\cfrac{\frac{1}{3}z}{1+\frac{1}{3}z-\cfrac{\frac{1}{4}z}{1+\frac{1}{4}z-\ddots}}}}}</math>
שבר משולב זה שקול לשבר המשולב הבא:
:<math>e^z=\cfrac{1}{1-\cfrac{z}{1+z-\cfrac{z}{2+z-\cfrac{2z}{3+z-\cfrac{3z}{\ddots}}}}}</math>
מהצבת <math>z = 1</math> מתקבלת ההצגה המפורסמת של [[e (קבוע מתמטי)|e]] כשבר משולב אינסופי שאינו מחזורי:
:<math>e=\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{2-\cfrac{1}{3-\cfrac{2}{4-{\cfrac{3}{\ddots}}}}}}=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+{\cfrac{4}{\ddots}}}}}}</math>

[[קטגוריה:תורת המספרים]]
[[קטגוריה:שברים]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]