הצגת המקור של הדף "נוסחת האנטרופיה של בולצמן"

[[קובץ:Boltzmann_equation.JPG|שמאל|ממוזער| '''המשוואה של בולצמן''' שנחצבה על מצבתו. <ref>See: photo of [[:קובץ:Zentralfriedhof Vienna - Boltzmann.JPG|Boltzmann's grave]] in the [[Zentralfriedhof]], Vienna, with bust and entropy formula.</ref>]]
ב[[פיזיקה סטטיסטית|מכניקה סטטיסטית]], '''המשוואה של בולצמן''' (הידועה גם בשם '''המשוואה של בולצמן-פלאנק)''' היא [[משוואה]] הסתברותית, המקשרת את ה[[אנטרופיה]] ''S'' של [[גז אידיאלי]] ל[[פונקציית ריבוי]] W, אשר מייצגת את מספר [[מצב מיקרוסקופי (מכניקה סטטיסטית)|מצבי המיקרו]] (microstate) המתאימים למצב המקרו של הגז (macrostate).

המשוואה היא:
{{מספור צדי|:|<math>S = k_\mathrm{B} \ln W</math>|1}}

כאשר ''k'' <sub>B</sub> הוא [[קבוע בולצמן]] (שלעיתים נכתב כ-''k'') ושווה ל <math>1.38065 \times 10^{-23} \frac{J}{K}</math>.

כלומר, נוסחת בולצמן מציגה את הקשר בין אנטרופיה למספר הדרכים בהן ניתן לסדר [[אטום|אטומים]] או [[מולקולה|מולקולות]] של [[מערכת תרמודינמית]] (באנגלית: [[:en:Thermodynamic_system|Thermodynamic system]]).

__תוכן_עניינים__

== היסטוריה ==
[[קובץ:Zentralfriedhof_Vienna_-_Boltzmann.JPG|שמאל|ממוזער|267x267 פיקסלים| קברו של בולצמן ב- [[בית הקברות המרכזי בווינה|Zentralfriedhof]], וינה, עם נוסחת האנטרופיה.]]
המשוואה נוסחה במקור על ידי [[לודוויג בולצמן]] בין 1872 ל-1875, אך לאחר מכן שונתה לצורתה הנוכחית על ידי [[מקס פלאנק]] בשנת 1900 בערך.<ref>[http://scienceworld.wolfram.com/physics/BoltzmannEquation.html Boltzmann equation]. Eric Weisstein's World of Physics (states the year was 1872).</ref><ref>{{Cite book|title=A to Z of Thermodynamics|last=Perrot, Pierre|publisher=Oxford University Press|year=1998|isbn=0-19-856552-6}}</ref> כפי שאמר פלאנק - "הקשר [[לוגריתם|הלוגריתמי]] בין [[אנטרופיה]] [[הסתברות|והסתברות]] נאמר לראשונה על ידי ל' בולצמן [[התאוריה הקינטית של הגזים|בתורת]] הגזים הקינטית שלו".

הערך של {{Mvar|W}} נועד במקור להיות פרופורציונלי ל-''Wahrscheinlichkeit'' (הסתברות בגמנית) של מצב מקרוסקופי לצורך חלוקת הסתברות מסוימת של מצבי מיקרו אפשריים - אוסף (בלתי ניתן להבחנה) של "דרכים" במצבו (המדיד) [[תרמודינמיקה|התרמודינאמי]] של מערכת ניתן לחישוב על ידי הקצאת מיקומים [[תנע|ותנעים]] שונים למולקולות השונות. באופן המתפרש, הנוסחה של בולצמן היא הנוסחה הכללית ביותר לאנטרופיה התרמודינמית. עם זאת, ה[[פרדיגמה]] של בולצמן הייתה [[גז אידיאלי]] של {{Mvar|N}} חלקיקים ''זהים'', מהם ה- {{Mvar|N<sub>i</sub>}} במצב המיקרוסקופי ה-{{Mvar|i}} של מיקום ותנע. במקרה הזה, ההסתברות של כל מצבי המיקרו של מערכת שווה, ולכן בולצמן חישב את מספר מצבי המיקרו המתאימים לכל מצב מאקרו, ומכאן הוא היה יכול להסיק את ההסתברות של כל מצב מקרו. {{Mvar|W}} פורש על ידי אחרים כ"מספר מצבי המיקרו", אף על פי שלא לכך התכוון בולצמן. פירוש זה תפס, ועל כן הוא בשימוש כיום. ניתן למנות את {{Mvar|W}} באמצעות הנוסחה [[תמורה (מתמטיקה)|לתמורות]] (פרמוטציות):

{{מספור צדי|:|<math> W = \frac{N!}{\prod_i N_i!} </math>|2}}

כאשר {{Mvar|i}} נע בין כל המצבים המולקולריים האפשריים, ו- "!" מציין [[עצרת (מתמטיקה)|עצרת]]. ה"תיקון" במכנה נובע מהעובדה שלא ניתן להבחין בין חלקיקים זהים באותו מצב. {{Mvar|W}} נקרא לפעמים "ההסתברות התרמודינמית" מכיוון שמדובר ב[[מספר]] [[מספר שלם|שלם]] גדול מאחד, ואילו [[תורת ההסתברות|הסתברויות מתמטיות]] הן תמיד מספרים בין אפס לאחד.

== הכללה לאנטרופית גיבס ==
הנוסחה של בולצמן תקפה למצבי מיקרו של היקום בכללותו, כאשר כל מצב מיקרו אפשרי צפוי להיות סביר באותה מידה.

אך בתחום ה[[תרמודינמיקה]] חשוב להיות מסוגלים לבצע את הקירוב של חלוקת היקום למערכת המעניינת, ולסביבתה; ואז להיות מסוגלים לזהות את האנטרופיה של המערכת. מצבי מיקרו של מערכת תרמודינמית כזו אינם שווי הסתברות - למשל, מצבי מיקרו עם אנרגיה גבוהה סבירים פחות מאשר מצבי מיקרו עם אנרגיה נמוכה עבור מערכת תרמודינמית אשר נשמרת בטמפרטורה קבועה (למשל, על ידי מגע עם אמבט חום). עבור מערכות תרמודינמיות בהן מצבי המיקרו של המערכת עשויים להיות בעלי הסתברות לא שווה, ההכללה המתאימה, הנקראת אנטרופיית גיבס, היא: {{מספור צדי|:|<math> S = - k_\mathrm{B} \sum p_i \ln p_i </math>|3}}כאשר ההסתברויות שוות, משוואה זו הופכת למשוואה ({{סימון נוסחה|1}}).

בולצמן השתמש בנוסחה בסגנון <math>\rho\ln\rho</math> כבר בשנת 1866.<ref name="wt">{{Cite journal|title=Über die Mechanische Bedeutung des Zweiten Hauptsatzes der Wärmetheorie|last=Ludwig Boltzmann|journal=Wiener Berichte|year=1866|volume=53|pages=195–220}}</ref> הוא פירש את {{Mvar|&rho;}} כצפיפות במרחב הפאזה - מבלי להזכיר הסתברות - אך מכיוון שזה מספק את ההגדרה האקסיומטית של מדידה הסתברותית, נוכל לפרש זאת בדיעבד כהסתברות. [[ג'וסיה וילארד גיבס|גיבס]] נתן פרשנות הסתברותית מפורשת בשנת 1878.

בולצמן עצמו השתמש בביטוי הזהה ל- ({{סימון נוסחה|3}}) בעבודתו המאוחרת<ref name="vorlesungen">{{Cite book|title=Vorlesungen über Gastheorie, vol. I|last=Ludwig Boltzmann|publisher=J.A. Barth, Leipzig|year=1896}};
 {{Cite book|title=Vorlesungen über Gastheorie, vol. II|last=Ludwig Boltzmann|publisher=J.A. Barth, Leipzig|year=1898}}</ref> וזיהה את זה כביטוי כללי יותר ממשוואה ({{סימון נוסחה|1}}). כלומר, משוואה ({{סימון נוסחה|1}}) היא תוצאה של משוואה ({{סימון נוסחה|3}}) - ולא להפך. בכל מצב בו משוואה ({{סימון נוסחה|1}}) תקפה, משוואה ({{סימון נוסחה|3}}) תקפה גם היא - ולא להפך.

== האנטרופיה של בולצמן והתפלגויות ==
המונח '''אנטרופית בולצמן''' משמש לעיתים גם כדי לציין אנטרופיות המחושבות על סמך הקירוב לפיו ניתן לחשב את ההסתברות הכללית על ידי חישוב [[חלקיק]] בודד, ומשם הכללה לסך החלקיקים - בהנחה שלכל חלקיק יש הסתברות בלתי תלויה וזהה ([[:en:Independent_and_identically_distributed_random_variables|IID]]), והתעלמות מאינטראקציות ומתאמים (correlation) בין החלקיקים. זה מדויק לגז אידיאלי של חלקיקים זהים, ועשוי להיות קירוב טוב למערכות אחרות.<ref>[[E.T. Jaynes|Jaynes, E. T.]] (1965). [http://bayes.wustl.edu/etj/articles/gibbs.vs.boltzmann.pdf Gibbs vs Boltzmann entropies]. ''American Journal of Physics'', '''33''', 391-8.</ref>

האנטרופיה של בולצמן מתקבלת אם מניחים שניתן להתייחס לכל החלקיקים המרכיבים מערכת תרמודינמית כאל בלתי תלויים סטטיסטית. ואז [[התפלגות]] ההסתברות של המערכת כולה ניתנת לכתיבה כמכפלת ''N'' ביטויים זהים, ביטוי אחד לכל חלקיק; והאנטרופיה של גיבס הופכת לאנטרופיה של בולצמן: {{מספור צדי|:|<math>S_\mathrm{B} = - N k_\mathrm{B} \sum_i p_i \ln p_i</math>|4}}כאשר הסכימה מתבצעת על כל מצב אפשרי [[ מרחב שלב |במרחב הפאזה]] ה-6-ממדי של חלקיק ''בודד'' (3 ממדים למיקום, ו-3 לתנע), ולא על מרחב הפאזה ה-6 ''N-''ממדי של המערכת כולה.

זה משקף את פונקציית האנטרופיה הסטטיסטית המקורית שהוצגה על ידי [[לודוויג בולצמן]] בשנת 1872. למקרה המיוחד של [[גז אידיאלי]] הוא מתאים בדיוק [[אנטרופיה|לאנטרופיה התרמודינמית]] הנכונה.

עם זאת, לכל דבר פרט לגזים מאוד דלילים, הוא מוביל לתחזיות שגויות של אנטרופיות והתנהגויות פיזיקליות, על ידי התעלמות מהאינטראקציות והמתאמים בין מולקולות שונות. במקום זאת יש לעקוב אחר גיבס, ולהתחשב [[צבר (פיזיקה סטטיסטית)|בהרכב]] מצבי המערכת בכללותה, ולא במצבים של חלקיקים יחידים.

== כיווניות הזמן<ref>{{צ-מאמר|מחבר=Joel L. Lebowitz|שם=BOLTZMANN'S ENTROPY AND TIME'S ARROW|כתב עת=https://cmsr.rutgers.edu/images/people/lebowitz_joel/publications/lebowitz_370.pdf}}</ref>==
אחד הדברים שהטרידו את בולצמן היו התפתחויות אסימטריות בזמן של מערכות מקרוסקופיות, אשר נובעות ממשוואות אסימטריות בזמן, כמו, למשל, משוואת הדיפוזיה.

משוואות אלו, במקרים רבים, נובעות מהמשוואות המקרוסקופיות ([[חוקי ניוטון]] או [[משוואת שרדינגר]]), אשר הן בעצמן סימטריות בזמן. בולצמן קדם ל[[מכניקת הקוונטים]], וגם ל[[תורת היחסות הפרטית]] והכללית, ועל כן עסק במכניקה ניוטונית.

אחת המסקנות של בולצמן היא שמעבר ממצב אחד למצב אחר של מערכת מאקרוסקופית מאופשר על ידי חוקי ניוטון כמו שגם מעבר מהמצב השני לראשון. אבל, כיוון אחד יותר סביר, והכיוון השני אף פעם לא נצפה. הכיוון הסביר מצביע בעצם על כיוון הזמן.

== שיווי משקל ==
הטענה של בוצלמן: "למצב המקרו של שיווי המשקל יש הסתברות ''גדולה בהרבה'' מכל מצב מקרו אחר (אז הוא מכיל את הרוב המוחלט של מצבי המיקרו הזמינים למערכת)"

ניתן להסתכל על דוגמה על מנת להמחיש את כוונתו.

במקרה של [[מודל פרומגנט]], אשר מורכב מחלקיקים ([[אלקטרון|אלקטרונים]]) בעלי מצב בינארי (למעלה או למטה).

במקרה זה, ניתן לחשב ישירות את <math>W</math>, מספר המצבים האפשריים של המערכת, ולראות כי <math>W=2^N</math>, כאשר <math>N</math> הוא מספר החלקיקים.

בנוסף, במקרה זה, מספר החלקיקים בעלי [[ספין (פיזיקה)|ספין]] מעלה (<math>N_\uparrow</math>) ומספר החלקיקים בעלי ספין מטה <math>N_\downarrow</math> מקיימים, במצב שיווי משקל:

<math>N_\uparrow = N_\downarrow = \frac{N}{2}</math>

נראה כי למצב שיווי המשקל יש את הסתברות גדולה בהרבה מכל מצב אחר, שכן אם קיים מצב מקרו בו יש <math>k</math> חלקיקים עם ספין למעלה, אז הסיכוי למצוא את המערכת במצב הזה הוא:

<math>P(k)= \binom{N}{k} \frac{1}{2^N} = \frac{ N!}{k!(N-k)!} \frac{1}{2^N}</math>

וכן בגבול בו <math>N</math> גדול מאוד, ההסתברות פרופורציונלית כך:

<math>P(k) \propto \frac{N^k}{2^N} \ \ \xrightarrow[N \rightarrow \infty]{} \ \ 0</math>

ועל כן, סביר רק למצוא את המערכת במצב שיווי המשקל שלה.

=== קשר לטמפרטורה ===
אם ניקח שתי מערכות, כאשר הראשונה בעלת אנטרופיה <math>S_1 = k_B \log(W_1)</math> והשנייה בעלת אנטרופיה <math>S_2 = k_B \log(W_2)</math>, ונצמיד אותן, כך שהן יהיו במצב של [[צימוד תרמי]] (זאת אומרת, המערכות יוכלו להעביר אנרגיה אחת לשנייה, אך כל מערכת תישאר ללא שינוי בנפח או במספר החלקיקים), נקבל שאחרי זמן מה, המערכות יגיעו לשיווי משקל.

בשיווי משקל ניתן לומר כי לא תעבור יותר אנרגיה בין המערכות, ועל כן, נוכל לכתוב את השוויון הבא:

<math>\frac{\partial S_1}{\partial U_1} = \frac{\partial S_2}{\partial U_2}</math>

כאשר הנגזרת החלקית נלקחת לפי [[אנרגיה פנימית|האנרגיה הפנימית]] של כל מערכת <math>U_i</math>, וכן הנפח <math>V_i</math> ומספר החלקיקים <math>N_i</math> של כל מערכת מוחזקים קבועים.

מכן ניתן להגדיר את ה[[טמפרטורה]], <math>T</math>, באופן הבא:

<math>\frac{\partial S}{\partial U} = \frac{1}{T}</math>

כאשר, גם כאן, הנפח ומספר החלקיקים קבוע.

הגדרה זו תואמת ל[[חוק האפס של התרמודינמיקה]], שכן אם מערכת <math>A</math> ומערכת <math>B</math> נמצאות בצימוד תרמי, ולא זורמת ביניהן אנרגיה, אז ניתן לומר כי:

<math>\frac{1}{T_A} = \frac{\partial S_A}{\partial U_A} = \frac{\partial S_B}{\partial U_B} = \frac{1}{T_B}</math>

ובנוסף, אם מערכת <math>B</math> ומערכת <math>C</math> נמצאות בצימוד תרמי, ולא זורמת ביניהן אנרגיה, אז ניתן לומר בנוסף כי:

<math>\frac{1}{T_B} = \frac{\partial S_B}{\partial U_B} = \frac{\partial S_C}{\partial U_C} = \frac{1}{T_C}</math>

ומכאן נובע ש-

<math>\frac{1}{T_A} = \frac{1}{T_B} = \frac{1}{T_C}</math>

ולכן,

<math>T_A = T_C</math>

== מחוץ לשיווי משקל ==
בהתייחסות לתרמודינמיקה מחוץ לשיווי משקל נדרוש כי אין צורך בבחירת אנסמבל ספציפי על מנת לראות את הכיווניות של הזמן בהתפתחות המערכת.

במבט שנובע מאנטרופית בולצמן, נראה כי מצב מקרוסקופי, אשר ניתן לתיאור על ידי פרמטרים מקרוסקופיים <math>M</math>, בעצם נובע ממצב (או אוסף מצבים) מיקרוסקופיים.

באופן דומה, מחוץ לשיווי משקל, ניתן להראות כי ההתפתחות בזמן של <math>M(t)</math> תיתן על ידי פתרון [[משוואת הדיפוזיה]], וכן בכל זמן, האנטרופיה של אותו מצב, <math>S(M(t))</math> תקיים את [[החוק השני של התרמודינמיקה]].<ref>{{צ-מאמר|מחבר=S. Goldstein, Joel L. Lebowitz|שם=On the (Boltzmann) entropy of non-equilibrium systems|כתב עת=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167278904000211}}</ref>

== אנלוגיה לאנטרופיה של [[קלוד שאנון|שאנון]]<ref>{{קישור כללי|כתובת=http://faculty.poly.edu/~jbain/physinfocomp/lectures/03.BoltzGibbsShannon.pdf|הכותב=|כותרת=Boltzmann Entropy, Gibbs Entropy, Shannon Information|אתר=|תאריך=2020/04/16}}</ref> ==
{{ראו גם|ערך=[[אנטרופיה בתרמודינמיקה ובתורת האינפורמציה]]}}
[[אנטרופיית שאנון]] מגיעה מתורת האינפורמציה, ועם זאת, ניתן לראות כי היא דומה לאנטרופיה של בולצמן, המגיעה מהתרמודינמיקה בפיזיקה.
{| class="wikitable"
|+
!האנטרופיה של בולצמן
!האנטרופיה של שנון
|-
|<math>X</math> - מצב מיקרו מסוים של חלקיק בודד
|<math>X</math> - משתנה מקרי
|-
|<math>(n_1, n_2, \dots, n_l)</math> - <math>l</math> מיקומים שונים בהם החלקיק יכול להיות
|<math>(x_1, x_2, \dots, x_l)</math> - <math>l</math> ערכים שונים
|-
|<math>(p_1, p_2, \dots, p_l)</math> - ההסתברות להיות בכל מצב מיקרו
|<math>(p_1, p_2, \dots, p_l)</math> - ההסתברות לכל ערך
|-
|<math>p_j=\frac{n_j}{N}</math> - ההסתברות שמצב מיקרו מסוים ימצא במיקום ה-<math>j</math>
|<math>p_j</math> - ההסתברות שמדידת <math>X</math> תתן את הערך <math>x_j</math>
|-
|<math>-\ln(p_j)</math> - האינפורמציה המתקבלת ממדידת חלקיק ומציאתו במיקום ה-<math>j</math>
|<math>-\log_2(p_j)</math> - האינפורמציה המתקבלת ממדידת <math>X</math> וקבלת הערך <math>x_j</math>
|-
|<math>S_B=-N k_B \textstyle \sum_{j=1}^l \displaystyle p_j \ln(p_j)</math> - האנטרופיה של בולצמן
|<math>H=-\textstyle \sum_{j=1}^l \displaystyle p_j \log_2(p_j)</math>
|-
|<math>\frac{S_B}{N}</math> - התוחלת של האינפורמציה המתקבלת ממדידת מצב מיקרו של חלקיק בודד
|<math>H</math> - התוחלת של האינפורמציה המתקבלת ממדידת <math>X</math>
|}

== ראו גם==
* [[פיזיקה סטטיסטית]]

== קישורים חיצוניים ==
* [https://web.archive.org/web/20021219005150/http://www.chemsoc.org/exemplarchem/entries/pkirby/exemchem/Boltzmann/Boltzmann.html מבוא למשוואת בולצמן]
* [[iarchive:vorlesungenberg01boltgoog|Vorlesungen über Gastheorie, Ludwig Boltzmann (1896) כרך א '.]] אני, ג'יי בארת, לייפציג
* [[iarchive:vorlesungenberg02boltgoog|Vorlesungen über Gastheorie, Ludwig Boltzmann (1898) כרך א '.]] ב. JA Barth, לייפציג.

== לקריאה נוספת ==
* Charles Kittel and Herbert Kroemer, '''Thermal Physics''', San Francisco: W.H. Freeman and Company
* R. Feynman, '''The Character of Physical Law''', The MIT Press, Cambridge, Mass, 1967. Chapter 5.
* [https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.92.050602 P. L. Garrido, S. Goldstein, and J. L. Lebowitz, '''Boltzmann Entropy for Dense Fluids Not in Local Equilibrium''']

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:תרמודינמיקה]]
[[קטגוריה:פיזיקה סטטיסטית]]
[[קטגוריה:משוואות]]