הצגת המקור של הדף "נוסחת קושי-בינה"

ב[[אלגברה ליניארית]], '''נוסחת קושי בינה''' היא נוסחה ל[[דטרמיננטה]] של [[כפל מטריצות|מכפלת]] [[מטריצה|מטריצות]] שאינן דווקא ריבועיות.

הדטרמיננטה מוגדרת רק למטריצות ריבועיות. היא כפלית, כלומר מקיימת את הזהות <math>\det(AB)=\det(A)\det(B)</math> לכל שתי מטריצות ריבועיות מאותו סדר. נוסחת קושי בינה מכלילה את הזהות גם למטריצות שאינן דווקא ריבועיות.

==הנוסחה==

תהיינה <math>A, B</math> מטריצות מסדר <math>m \times n, n \times m</math> בהתאמה. נסמן ב-<math>S</math> את קבוצת כל תתי הקבוצות של <math>\{1,2,..,n\}</math> מגודל m. עבור <math>\tau \in S</math>, נסמן ב-<math>A^{\tau}</math> את המטריצה המתקבלת מהעמודות של A באינדקסים הנמצאים ב-<math>\tau</math> (בסדר המקורי), וב-<math>B^{\tau}</math> את המטריצה המתקבלת מהשורות של B באינדקסים הנמצאים ב-<math>\tau</math> (בסדר המקורי). אז מתקיים:
:<math>\det(AB)=\sum_{\tau \in S} \det(A^\tau)\det(B^\tau)</math>
הנוסחה מעניינת כאשר n>m. אם n=m, אז <math>S=\{\{1,...,n\}\}</math> כלומר תת-הקבוצה היחידה היא הקבוצה כולה ואז המטריצות זהות למקוריות ומתקבלת הזהות <math>\det(AB)=\det(A)\det(B)</math>. אם m>n, אין תתי קבוצות כאלה ולכן הסכום הוא הסכום הריק ששווה ל-0, ואכן במקרה זה הדטרמיננטה בהכרח 0 כי המטריצה לא [[מטריצה הפיכה|הפיכה]] משיקולי [[דרגה (אלגברה ליניארית)|דרגות]]. לכן הנוסחה נכונה תמיד.

==הוכחה==

נסמן את העמודה ה-i של מטריצה <math>M</math> ב-<math>M_i</math> כמו כן, נסמן ב-<math>(M_1,...,M_n)</math>, כאשר <math>M_i</math> הם וקטורי עמודה, את המטריצה המתקבלת מהם. לבסוף נסמן ב-<math>S_n</math> את קבוצת כל ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורות]] על <math>\{1,...,n\}</math>.

נשתמש במולטילינאריות הדטרמיננטה ובנוסחה הישירה ונקבל:

<math>\det(AB)=\det(AB_1,...,AB_m) =\det(\sum_{i=1}^nb_{i1}A_i,...,\sum_{i=1}^nb_{im}A_i)</math>

<math>=\sum_{1 \le i_1 , ..., i_m \le n} b_{i_11}, ... ,b_{i_mm}\det(A_{i_1},...,A_{i_m})</math>

<math>=\sum_{1 \le i_1 \le...\le i_m \le n}\sum_{\sigma \in S_n}b_{i_{\sigma(1)}1}...b_{i_{\sigma(m)}m}\det(A_{i_{\sigma(1)}},...,A_{i_{\sigma(m)}})</math>

<math>=\sum_{1 \le i_1 \le...\le i_m \le n}\sum_{\sigma \in S_n}b_{i_{\sigma(1)}1}...b_{i_{\sigma(m)}m}\sgn(\sigma)\det(A_{i_1},...,A_{i_m})</math>

<math>=\sum_{\tau \in S} \det(A^\tau)\det(B^\tau)</math>

כרצוי.

==הכללות==
ניתן ל[[הכללה (מתמטיקה)|הכליל]] את המשפט באופן הבא: תהיינה <math>A, B</math> מטריצות מסדר <math>m \times n, n \times p</math> בהתאמה. תהיינה <math>I,J</math> תתי קבוצות של <math>\{1,..,m\}, \{1,...,p\}</math> בהתאמה בגודל k. נסמן ב-<math>S</math> את קבוצת כל תתי הקבוצות של <math>\{1,2,..,n\}</math> מגודל k. עבור <math>U,V</math> תתי קבוצות של טבעיים, נסמן ב-<math>M_{UV}</math> את המטריצה המתקבלת מהשורות של <math>M</math> שנמצאות ב-<math>U</math>, והעמודות של <math>M</math> הנמצאות ב-<math>V</math>. אז מתקיים:
:<math>\det(AB_{IJ})=\sum_{K \in S} \det(A_{IK})\det(B_{KJ})</math>.

[[קטגוריה:משפטים באלגברה]]
[[קטגוריה:דטרמיננטות]]
[[קטגוריה:אוגוסטן לואי קושי]]