הצגת המקור של הדף "נורמה של אופרטור"

{{מקורות|רמה=מחפש|נושא=מדעי הטבע}}
ב[[אנליזה מתמטית]], '''נורמה של אופרטור''' בין [[מרחב נורמי|מרחבים נורמיים]] היא מספר המודד באיזו מידה עשוי ה[[אופרטור]] להגדיל את אורכו<!-- זו ה[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] של הווקטור --> של [[מרחב וקטורי|וקטור]] שהוא פועל עליו. אופרטור שיש לו [[נורמה (אנליזה)|נורמה]] סופית הוא [[אופרטור ליניארי חסום|חסום]]. הנורמה של אופרטורים הופכת את מרחב האופרטורים מ[[מרחב בנך]] אל עצמו, למרחב בנך שהוא [[אלגברת סי-כוכב]].

== הגדרה ==
יהיו B,C [[מרחב נורמי|מרחבים נורמיים]]. הנורמה של [[אופרטור ליניארי]] <math>\ T : B \rightarrow C</math>, המסומנת <math>\|T\|</math> (ולעיתים גם <math>\| T \|_{\mathrm{op}}</math>), היא ה[[סופרמום]] של ה[[נורמה (אנליזה)|נורמות]] <math>\ \|T(x)\|_C</math> כאשר <math>\ x \in B</math> הוא [[וקטור יחידה]]. לחלופין, זהו הסופרימום של כל המנות <math>\ \frac{\|T(x)\|_C}{\|x\|_B}</math> כאשר המכנה אינו אפס. מן ההגדרה נובע שלכל x מתקיים <math>\ \|T(x)\| \leq \|T\|\|x\|</math>. 

לפעמים – למשל כאשר B [[מרחב בנך]] מממד סופי, או כאשר האופרטור [[מטריצה לכסינה|ניתן ללכסון]] – מובטח שהסופרימום מתקבל, ואז הנורמה שווה ל[[ערך עצמי|ערך העצמי]] הגדול ביותר (מבחינת הנורמה המרוכבת) של האופרטור.

הנורמה מקיימת את הכללים הבאים: 
# <math>\ \|T\|\geq 0</math>, עם שוויון רק כאשר T=0;
# <math>\ \|\alpha T\| = |\alpha|\|T\|</math>;
# <math>\ \|T+S\| \leq \|T\|+\|S\|</math>;
# <math>\ \|TS\| \leq \|T\|\|S\|</math>.

אם B,C [[מרחב מכפלה פנימית|מרחבי מכפלה פנימית]], אז <math>\ \|T^*\|=\|T\|</math> כאשר <math>\ T^*</math> הוא [[האופרטור הצמוד]] ל-T. בכל מקרה מתקיים <math>\ \|T\|^2 = \|TT^*\|</math>. נוסחה זו שימושית במיוחד משום שהאופרטור <math>\ TT^*</math> שבאגף ימין הוא [[אופרטור הרמיטי|הרמיטי]], ולכן כל הערכים העצמיים שלו ממשיים (חיוביים), והנורמה שווה לגדול ביניהם.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld|OperatorNorm}}

[[קטגוריה:אנליזה פונקציונלית]]
[[קטגוריה:נורמות (מתמטיקה)]]