הצגת המקור של הדף "נסג"

ב[[טופולוגיה אלגברית]], '''נסג''' (Retract) של [[מרחב טופולוגי]] הוא תת-מרחב אליו אפשר לסגת מהמרחב כולו על ידי [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|פונקציה רציפה]]. '''נסג עיוותי''' (Deformation retract) הוא, אינטואיטיבית, תת-מרחב אליו ניתן להשתנות (או להתעוות) מהמרחב כולו בצורה רציפה.

אחת השאלות הבסיסיות בטופולוגיה אלגברית היא אילו תתי מרחבים של מרחב טופולוגי הם נסג/נסג עיוותי שלו.

==הגדרה==

יהי <math>X</math> [[מרחב טופולוגי]], ו-<math>A \subseteq X</math> תת-מרחב שלו. נאמר כי <math>A</math> הוא '''נסג''' של <math>X</math>, אם קיימת [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|העתקה רציפה]] <math>r:X \rightarrow A</math> כך ש-<math>\forall a \in A:r(a)=a</math>. המיפוי <math>r</math> נקרא לעיתים ''נסיגה''.

בשקילות, אם נסמן ב-<math>i_A</math> את העתקת ההכלה <math>i:A \rightarrow X, i(a)=a</math> יש לדרוש כי <math>r \circ i_A=id_A</math>, [[פונקציית הזהות]] על <math>A</math>.


<math>A</math> ייקרא '''נסג עיוותי''' (Deformation retract) אם קיימת [[הומוטופיה (טופולוגיה)|הומוטופיה]] <math>H:X \times [0,1] \rightarrow X</math> כך ש-

<math>\forall x \in X: H(x,0)=x</math>

<math>\forall a \in A, t \in [0,1] : H(a,t)=a</math>

<math>\forall x \in X : H(x,1) \in A</math>

ההומוטפיה <math>H</math> נקראת לעיתים נסיגה עוויתית. במילים אחרות, <math>H</math> כזו היא הומוטופיה בין העתקת הזהות והעתקת נסיגה.


''הערה:'' לעיתים בהגדרת נסג עיוותי מחלישים את הדרישה השנייה ל-<math>\forall a \in A : H(a,1)=a</math>, ואז להגדרה לעיל קוראים '''נסג עיוותי חזק'''. לאורך הערך נעסוק רק בנסג עיוותי חזק, וכאן הוא ייקרא פשוט נסג עיוותי.

==נסגים והחבורה היסודית==
קיים קשר הדוק בין נסגים לבין [[חבורה יסודית|החבורה היסודית הראשונה]] של [[מרחב קשיר מסילתית]] <math>X</math> סביב (כל) נקודה <math>a</math>, אותה נסמן <math>{\pi}_{1}(X,a)</math>.

ראשית, אם <math>A \subseteq X</math> נסג ו-<math>i : A \rightarrow X</math> העתקת ההכלה, אז ההעתקה <math>{i}_{*}: {\pi}_{1}(A,a) \rightarrow {\pi}_{1}(X,a)</math>, הנתונה על ידי <math>{i}_{*}([\phi])=[i \circ \phi]</math> היא [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד חד ערכית]]. יתרה מזאת, אם <math>A</math> נסג עיוותי, <math>{i}_{*}</math> [[איזומורפיזם]] חבורות. כלומר - '''למרחב טופולוגי ולנסג עיוותי שלו אותה חבורה יסודית'''.

טענות אלו עוזרות להראות למשל שתתי מרחבים מסוימים אינם מהווים נסג (ראו דוגמאות).

==דוגמאות==
* ב[[קבוצה קמורה]] (עם הטופולוגיה הממשית סטנדרטית) כל תת-מרחב הוא נסג.
* כל נסג עיוותי הוא נסג.
* נסג של [[מרחב כוויץ]] הוא מרחב כוויץ.
* ה[[ספירה (גאומטריה)|ספירה]] ה-<math>n</math> ממדית <math>S^n</math> במרחב <math>{ \mathbb{R} }^{n+1} - \{ \overline{0} \}</math>  היא נסג עיוותי, על ידי ההעתקה <math>H(x,t)=\left((1-t)+{t\over \|x\|}\right) x</math>
* <math>S^1</math> איננו נסג של העיגול ה-2 ממדי <math>D</math>, לפי השיקול לעיל על החבורות היסודיות -  כאן <math>{\pi}_{1}({S}^{1},1)= \mathbb{Z}</math>, אבל <math>{\pi}_{1}(D,1)=\{0\}</math>, ואין בין הראשונה לשנייה העתקה חד-חד-ערכית! מתוצאה זו ניתן להסיק בקלות את [[משפט נקודת השבת של בראואר]].
* <math>S^1</math> נסג עיוותי של העיגול ה-2 ממדי בלי הראשית, <math>D-\{0\}</math>, ולכן יש להם אותה חבורה יסודית, כלומר <math>{\pi}_{1}(D-\{0\},1)= \mathbb{Z}</math>.
*ה[[שפה (טופולוגיה)|שפה]] של [[טבעת מביוס]] איננה נסג של הטבעת.
* לכל <math>x \in S^1</math>, תת-המרחב <math>S^1 \times \{x\} \subseteq S^1 \times S^1</math> של ה[[טורוס]] הוא נסג אך לא נסג עיוותי.

==ראו גם==
*[[הומוטופיה (טופולוגיה)]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:טופולוגיה אלגברית]]