הצגת המקור של הדף "נקודת אוכף"

[[קובץ:Saddle_point.png|ממוזער|שמאל|200px|נקודת אוכף על [[גרף של פונקציה|גרף הפונקציה]] <math>\,z=x^2-y^2</math> (באדום)]]
[[קובץ:Saddle_pt.jpg|ממוזער|שמאל|150px|נקודת אוכף בין שתי גבעות, בהצטלבות קו הגובה שבצורת הספרה 8]]

ב[[מתמטיקה]], '''נקודת אוכף''' היא נקודה ב[[תחום של פונקציה|תחום]] של [[פונקציה]] של שני משתנים שהיא [[נקודה יציבה]] (כלומר, ה[[גרדיאנט]] שלה מתאפס), אך אינה מהווה [[נקודת קיצון]] מקומית. בנקודה כזו, ה[[משטח (טופולוגיה)|משטח]] ידמה לרוב ל[[אוכף]] אשר מתעקם למעלה בכיוון אחד, אך מתעקם למטה בכיוון אחר (כמו [[מעבר הרים]]). ב[[טופוגרפיה]], אם נסתכל על [[מפה טופוגרפית]] כפונקציה של שני משתנים ([[קו אורך|אורך]] ו[[קו רוחב|רוחב]]) המתאימה לכל [[קואורדינטה]] גובה, נזהה את נקודת האוכף בדרך כלל באמצעות [[מפה טופוגרפית#קווי גובה|קו גובה]] אשר חותך את עצמו (ראו תמונה משמאל).

עם זאת, המשטח בנקודת אוכף לא חייב להיות בצורת אוכף. לדוגמה, לפונקציה <math> f(x,y)=x^{2}+y^{3}</math> יש נקודה יציבה ב־<math>(0,0)</math> שהיא נקודת אוכף משום שהיא איננה נקודת קיצון מקומית, אך גרף הפונקציה באזור הנקודה לא נראה כמו אוכף משום שאין לפונקציה מינימום מקומי בכיוון ציר ה־y {{כ}}(<math>x=0</math>).

==הגדרה==
תהי <math>f(x,y)</math> פונקציה גזירה. '''נקודת אוכף''' <math>(x_0, y_0)</math> של הפונקציה <math>f(x,y)</math> היא נקודה יציבה אשר בכל [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] שלה, ישנן נקודות בתחום ההגדרה של <math>f</math> עבורן מתקיים <math>f(x,y) < f(x_0,y_0)</math> ונקודות בתחום ההגדרה של <math>f</math> עבורן מתקיים <math>f(x,y) > f(x_0,y_0)</math>.

עבור פונקציות של יותר מ-2 משתנים, נקודת אוכף של [[פונקציה חלקה]] (אשר ה[[גרף של פונקציה|גרף]] שלה הוא [[עקומה]], [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] או משטח רב-ממדי) היא נקודה יציבה אשר בכל [[סביבה (מתמטיקה)|סביבה]] שלה, גרף הפונקציה לא נמצא כולו בצד אחד של [[המרחב המשיק]] בנקודה זו.

ב[[ממד (מתמטיקה)|ממד]] אחד, נקודת אוכף היא [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] המהווה הן נקודה יציבה והן [[נקודת פיתול]], ולכן היא אינה נקודת קיצון.

== מציאת נקודת אוכף לפי מטריצת הסיאן ==
שיטה פשוטה לבדיקה האם נקודה יציבה נתונה של [[פונקציה ממשית]] <math>\,f(x,y)</math> היא נקודת אוכף היא לחשב את [[מטריצת הסיאן]] שלה בנקודה זו: אם המטריצה אינה מוחלטת (כלומר, יש לה [[ערך עצמי|ערכים עצמיים]] חיוביים ושליליים), אזי הנקודה תהיה נקודת אוכף.

לדוגמה, מטריצת הסיאן של הפונקציה <math>\,z=x^2-y^2</math> בנקודה היציבה <math>\ (0, 0)</math> היא:
:<math>\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & -2 \\
\end{bmatrix}
</math>
והיא אכן אינה מוחלטת. מכאן שנקודה זו היא נקודת אוכף. קריטריון זה הוא '''תנאי מספיק''' אך לא הכרחי; לדוגמה, הנקודה <math>(0, 0)</math> היא נקודת אוכף של הפונקציה <math>\,z=x^4-y^4,</math>, אך מטריצת הסיאן של פונקציה זו בנקודה היא [[מטריצת האפס]], אשר אינה מטריצה לא מוחלטת.

== שימושים נוספים ==
ב[[תורת המשחקים]], ב[[משחק סכום אפס]] בעל שני שחקנים המוגדר במרחב רציף, נקודת שיווי-המשקל היא נקודת אוכף.

ב[[אלגברה ליניארית]], נקודת אוכף היא האיבר במטריצה שהוא האיבר הקטן ביותר בשורה שלו וגם האיבר הגדול ביותר בעמודה שלו.

== לקריאה נוספת ==
* '''חשבון אינפיניטסימלי III''' (יחידה 3), [[האוניברסיטה הפתוחה]], 1984
<div dir="ltr">
* {{citation |last1=Gray |first1=Lawrence F.|last2=Flanigan|first2=Francis J.|last3=Kazdan|first3=Jerry L.|last4=Frank|first4=David H|last5=Fristedt|first5=Bert |title=Calculus two: linear and nonlinear functions |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1990 |page= 375|isbn=0-387-97388-5 |oclc= |doi=}}
* {{Citation | last1=Hilbert | first1=David | author1-link= | last2=Cohn-Vossen | first2=Stephan | author2-link= | title=Geometry and the Imagination | publisher=Chelsea | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-8284-1087-8 | year=1952 }}
* {{citation|first=Tobias|last=von Petersdorff|chapter=Critical Points of Autonomous Systems|year=2006|title=Differential Equations for Scientists and Engineers (MATH 246) lecture notes)}}
* {{citation |last=Widder|first=D. V. |title=Advanced calculus |publisher=Dover Publications |location=New York |year=1989 |page= 128 |isbn=0-486-66103-2 |oclc= |doi=}}
</div>

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
{{אנליזה מתמטית}}

[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]