הצגת המקור של הדף "נקודת מרכז"

[[קובץ:Merkaz-point01.png|ממוזער|200px|'''איור 1:''' המחשה של נקודת מרכז.]]
אחד הכלים הבסיסיים לחקירת קבוצה ב[[מרחב טופולוגי]] הוא המושג '[[פנים (טופולוגיה)|נקודת פנים]]': נקודה שקיימת לה [[סביבה (טופולוגיה)|סביבה]] שכולה מוכלת בקבוצה. '''נקודת מרכז''' היא מושג אנלוגי, המתאים לקבוצות ב[[מרחב וקטורי]]:
* נקודה x בקבוצה K היא '''נקודת מרכז''', אם לכל כיוון y קיים קטע פתוח <math>\ (x,x+\varepsilon y)</math>, <math>\ \varepsilon>0</math>, המוכל כולו בקבוצה.

מושג זה רלוונטי במיוחד ב[[מרחב נורמי|מרחבים נורמיים]], כאשר הוא מהווה תנאי חלש יותר מזה של נקודות פנים (כל נקודת פנים היא נקודת מרכז, אבל לא להפך). מאחר שההגדרה מיוסדת על קטעים ישרים, היא קשורה באופן הדוק ל[[קבוצה קמורה|קמירות]] של קבוצות.

לקבוצת כל נקודות המרכז של K קוראים "המרכז של K" ומסמנים <math>\ \mbox{cent}(K)</math>, או באות c מעל שם הקבוצה.

מכיוון שההגדרה מבוססת על קטעים ישרים, [[העתקה ליניארית|העתקות ליניאריות]] שומרות על המרכז: אם <math>\ T : U \rightarrow V</math> העתקה ליניארית פתוחה, ו- <math>\ K \sub U</math>, אזי <math>\ T(\mbox{cent}(K))=\mbox{cent}(T(K))</math>. מסיבה זו, המושג שימושי למדי ב[[אנליזה פונקציונלית]], ובפרט כאשר רוצים להוכיח שתמונה או [[תמונה הפוכה]] של [[אופרטור]] ליניארי היא פתוחה.

[[קובץ:Merkaz-counterexample01.png|ממוזער|200px|'''איור 2:''' [[דוגמה נגדית]], נקודת מרכז שאיננה נקודת פנים.]]
אף על פי שכל נקודת פנים היא נקודת מרכז, ההפך אינו נכון. תהי K הקבוצה הבאה
: <math>\ K = \left\{ x(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) \in \mathbb{R}^2 \ | \ r \le \theta \, \ 0 \le \theta \le 2 \pi \right\}</math>
(זוהי למעשה הצגה ב[[קואורדינטות קוטביות]]).
קל לוודא ש-0 היא אכן נקודת מרכז אך ברור שהיא איננה נקודת פנים. איור 2 מדגים זאת היטב. כל השטח הצבוע באדום הוא הקבוצה K. כעת, יהי D [[כדור (טופולוגיה)|כדור]] ברדיוס R > 0 מסביב ל-0. אזי קיים <math>\ 0 < \theta_0 < R/2</math> וכעת נסתכל על הנקודה <math>x(3R/4, \theta_0)</math> (זוהי נקודה ברדיוס 3R/4 וזווית <math>\theta_0</math> ביחס לציר ה-X). ברור מהגדרת K שנקודה זו איננה ב-K. ברם, היא כן שייכת לכדור D. לכן הכדור D איננו מוכל ב-K. טיעון זה נכון לכל [[כדור (טופולוגיה)|כדור פתוח]] (שכן רדיוס הכדור תמיד חיובי ממש!).

== משפטים שימושיים ==
* כל נקודת פנים היא נקודת מרכז.
* המרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת הזזה, כלומר: <math>\ \mbox{cent}(K+a) = \mbox{cent}(K) + a</math>.
* תהי K [[קבוצה קמורה]] ו <math>\ x \in \mbox{cent}(K) \, \ y \in K</math>. אזי הקטע <math>\ [x,y) \subset \mbox{cent}(K)</math> מוכל במרכז של K.
* '''משפט ליפשיץ''': עבור קבוצה <math>\sigma</math>-[[קמורה]], המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה). כלומר: <math>\ \mbox{cent}(K) = \mbox{int}(K) = \mbox{int}(\overline{K}) = \mbox{cent}(\overline{K}) </math>.
* ב[[כדור (טופולוגיה)|כדור פתוח]], הפנים של קבוצה שווה למרכז שלה.

== ראו גם ==
* [[פנים (טופולוגיה)]]
* [[קמירות]] ו[[קבוצה קמורה]]
* [[משפט ההעתקה הפתוחה]]

[[קטגוריה:טופולוגיה]]