הצגת המקור של הדף "סדרה מתכנסת"

{{פירוש נוסף|נוכחי=סדרה שיש לה גבול|אחר=איבר הגבול של סדרה מתכנסת|ראו=[[גבול של סדרה]]}}
{{סימון מתמטי}}
[[קובץ:Cauchy_sequence_illustration.png|ממוזער|ימין|גרף של סדרה מתכנסת]]
'''סדרה מתכנסת''' של מספרים ממשיים היא [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] שיש לה [[גבול של סדרה|גבול]], כלומר, איבריה הולכים ושואפים ל[[מספר]] כלשהו, או לערך <math>+\infty</math> או לערך <math>-\infty</math> ([[אינסוף]] או מינוס אינסוף). הסדרה <math>\{a_1,a_2,\dots\}</math> מתכנסת למספר <math>L</math> אם לכל ערך חיובי <math>\varepsilon</math>  יש מספר טבעי <math>N</math> שממנו והלאה (כלומר לכל <math>n>N</math>) מתקיים <math>|a_n - L| < \varepsilon</math>. סדרה מתכנסת ל<math>+\infty</math>  אם לכל מספר גדול כרצוננו  <math>M</math> קיים מספר טבעי <math>N</math> שלכל <math>n>N</math> מתקיים <math>a_n > M</math>.  סדרה שאינה מתכנסת נקראת '''סדרה מתבדרת'''. את מושג הסדרה המתכנסת אפשר להגדיר לא רק עבור מספרים ממשיים, אלא בכל [[מרחב מטרי]], ואפילו בכל [[מרחב טופולוגי]] (ראו [[גבול (טופולוגיה)]]).

== סדרות מתכנסות במרחבים מטריים ==

למושג הסדרה המתכנסת תפקיד מרכזי באנליזה של [[מרחב מטרי|מרחבים מטריים]]. אומרים שסדרה <math>\{a_1,a_2,\dots\}</math> של נקודות במרחב מטרי <math>X</math> (עם [[מטריקה]] <math>d</math>) '''מתכנסת''' לנקודה <math>x</math> ('''גבול הסדרה'''), אם לכל ערך חיובי <math>\varepsilon</math> יש מספר <math>N</math> שממנו והלאה מתקיים <math>\ d(a_n,x) < \varepsilon</math>. במרחב מטרי, לסדרה מתכנסת יש גבול יחיד.

את ההתכנסות של סדרה ממשית אפשר לאבחן גם ללא התייחסות ישירה לגבול: סדרה ממשית היא מתכנסת [[אם ורק אם]] היא [[סדרת קושי]]. התכונה הזו מלמדת הרבה על [[שדה המספרים הממשיים|מרחב המספרים הממשיים]]. אכן, סדרה מתכנסת היא סדרת קושי בכל מרחב מטרי, אבל ההפך לא תמיד נכון; למשל, סדרת קושי של [[מספר רציונלי|מספרים רציונליים]] אינה מוכרחה להתכנס (במרחב המספרים הרציונליים). מרחב מטרי שבו כל סדרת קושי מתכנסת נקרא [[מרחב מטרי שלם]]. כל מרחב מטרי אפשר להשלים, כלומר לשכן באופן [[קבוצה צפופה|צפוף]] במרחב מטרי שלם.

== התכנסות במרחבים טופולוגיים ==

את התנאי <math>d(a_n,x) < \varepsilon</math> אפשר לנסח קצת אחרת: <math>a_n \in B_\varepsilon(x)</math>, כאשר <math>B_r(x)</math> הוא ה[[כדור (טופולוגיה)|כדור]] ברדיוס <math>r</math> סביב <math>x</math>. ניסוח זה מוביל להגדרה הכללית של סדרה מתכנסת ב[[מרחב טופולוגי]] <math>X</math>: אומרים שסדרה <math>\{a_1,a_2,\dots\}</math> של נקודות ב-<math>X</math> '''מתכנסת''' לנקודה <math>x</math> ('''גבול הסדרה'''), אם לכל [[סביבה פתוחה]] <math>U</math> של <math>x</math>, יש מספר <math>N</math> שממנו והלאה מתקיים <math>a_n \in U</math>.

מרחב טופולוגי שבו לכל סדרה מתכנסת יש גבול יחיד נקרא '''מרחב-US'''. כפי האמור לעיל, כל מרחב מטרי מקיים את התכונה הזו, ובאופן יותר כללי, כל [[מרחב האוסדורף]] הוא מרחב-US. מאידך, כל מרחב-US מקיים את [[תכונת ההפרדה T1]]. למעשה, תכונת יחידות הגבול מתקיימת במשפחה מעט יותר כללית של מרחבים טופולוגיים: כל '''מרחב-KC''' הוא מרחב-US, וכל מרחב האוסדורף הוא מרחב-KC<ref>מרחב-KC הוא מרחב טופולוגי שבו כל [[קבוצה קומפקטית]] היא [[קבוצה סגורה|סגורה]]</ref>. 

בין מרחבים המקיימים את [[אקסיומת המניה הראשונה]], מחלקות המרחבים שהם האוסדורף, KC ו-US מתלכדות. העובדה שתכונות אלה נבדלות במקרה הכללי, מראה שסדרות מתכנסות אינן יכולות ללכוד את המבנה הטופולוגי באופן כללי, ולכן נדרשת הכללה לרשתות.

=== רשתות מתכנסות ===

בסדרה, מותאמת נקודה של המרחב לכל [[מספר טבעי]]. ב[[רשת (טופולוגיה)|רשת]], מחליפה את קבוצת המספרים הטבעיים [[קבוצה מכוונת]]. ההגדרה נותרת בעינה: הרשת <math>a_{\lambda}</math> '''מתכנסת''' לנקודה <math>x</math> ('''גבול הרשת'''), אם לכל סביבה פתוחה <math>U</math> של <math>x</math>, יש מקום <math>\lambda_0</math> שממנו והלאה (כלומר לכל <math>\lambda > \lambda_0</math>) מתקיים <math>a_\lambda \in U</math>. 

סדרה היא סוג של רשת, והסדרה מתכנסת (כסדרה) אם ורק אם היא מתכנסת כרשת, ולאותן נקודות גבול. לרשתות יתרונות רבים על-פני סדרות. לדוגמה, מרחב טופולוגי מקיים את תכונת האוסדורף אם ורק אם לכל רשת מתכנסת יש גבול יחיד. (אם ורק אם לכל [[מסנן (מתמטיקה)|מסנן]] מתכנס יש גבול יחיד).

== קצב התכנסות וסדר התכנסות ==
פעמים רבות נרצה לבדוק עד כמה מהר מתכנסת סדרה כלשהי. פרמטר זה חשוב במיוחד בבעיות אופטימיזציה שבהן אנו מנסים לשער ערך מסוים על-ידי פעולה איטרטיבית כלשהי אשר מתכנסת לערך הרצוי (לדוגמה, חישוב [[שורש (של פונקציה)|שורש של פונקציה]] באמצעות [[שיטת ניוטון-רפסון]]).

אחת הדרכים לייצוג מהירות ההתכנסות היא באמצעות חישוב קצב התכנסות ו[[סדר התכנסות]]. בהינתן סדרה <math>\left\{x_n\right\}_{n=1}^\infty</math> המתכנסת לערך <math>L</math> נאמר שהסדרה '''מתכנסת בקצב <math>\mu</math>''' ו'''מסדר <math>q</math>''' אם ורק אם:

<math>\lim_{k\to\infty}{\frac{\left|x_{n+1}-L\right|}{\left|x_{n}-L\right|^q}}=\mu</math><ref>Senning, Jonathan R. "[https://www.math-cs.gordon.edu/courses/ma342/handouts/rate.pdf Computing and Estimating the Rate of Convergence]" (PDF). ''gordon.edu''. Retrieved 2020-08-07.</ref>

זאת כאשר <math>q\ge1</math>. ככל ש-<math>q</math> גדול יותר, כך הסדרה הלכה למעשה מתכנסת מהר יותר אל הגבול שלה.

==ראו גם==
* [[מבחני התכנסות לסדרות]]

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}


{{אנליזה מתמטית}}

[[קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי]]
[[קטגוריה:סדרות מתמטיות]]