הצגת המקור של הדף "סדרת פרי"

[[קובץ:Farey diagram square 9.svg|ממוזער|200px|הצגה של סדרת פרי עד ''F''<sub>9</sub>]]
ב[[מתמטיקה]], '''סדרת פרי''' (Farey) מסדר n היא סדרה של שברים מצומצמים בין 0 ו-1, שהמכנה שלהם הוא קטן או שווה ל-n, כאשר בכל סדרה האיבר הראשון הוא 0, האחרון הוא 1, האיבר האמצעי הוא 2\1 (n > 1) והסדרה נבנית לפי סדר עולה. ניתן לראות כי כל סדרת פרי מסדר n מכילה את כל הסדרות פרי מסדר הקטן מ-n. הסדרה מסדר n מסומנת על ידי ''F''<sub>n</sub> (ללא קשר ל[[סדרת פיבונאצ'י]])

{| class="toccolours" style="margin-top:1em"
! סדרת פרי עד סדר 7
|-
|<pre style="background:transparent; border:none; font-size:88%;">
 F1 = {0/1,                                                                                                          1/1}
 F2 = {0/1,                                                   1/2,                                                   1/1}
 F3 = {0/1,                               1/3,                1/2,                2/3,                               1/1}
 F4 = {0/1,                     1/4,      1/3,                1/2,                2/3,      3/4,                     1/1}
 F5 = {0/1,                1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5,                1/1}
 F6 = {0/1,           1/6, 1/5, 1/4,      1/3,      2/5,      1/2,      3/5,      2/3,      3/4, 4/5, 5/6,           1/1}
 F7 = {0/1,      1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3,      2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5,      2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7,      1/1}
 

</pre>
|}
==מאפיינים==
ניתן לראות כי אפשר לקשר בין כמות האיברים בין סדרות עולות על ידי [[פונקציית אוילר]] בצורה רקורסיבית (כאשר ''F''<sub>1</sub>| = 2|):
:<math>|F_n| = |F_{n-1}| + \varphi(n).</math>
או ללא התייחסות לפונקציית אוילר:
:<math>|F_n| = 1 + \sum_{m=1}^n \varphi(m).</math>

:<math>|F_n| = \frac{1}{2}\left(3+\sum_{d=1}^n\mu(d)\left\lfloor\tfrac{n}{d}\right\rfloor^2\right),</math>

ועל ידי שימוש ב[[נוסחת ההיפוך של מביוס]] נקבל:
:<math>|F_n| = \frac{1}{2}(n+3)n-\sum_{d=2}^n|F_{\lfloor n/d\rfloor}|,</math>

מבחינה אסימפטוטית, ניתן לראות כי:
:<math>|F_n| \sim \frac {3n^2}{\pi^2}.</math>

==קשר ל[[השערת רימן]]==
אם נסמן את איברי הסדרה כ-<math>F_n=\{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots, m_n\}</math>, ונגדיר <math>d_{k,n} = a_{k,n} - k/m_n</math>. בשנת [[1924]] הוכיח [[ג'רומה פראנל]] (Jérôme Franel) כי הטענה הבאה:
: <math>\sum_{k=1}^{m_n} d_{k,n}^2 = O (n^r)\quad\forall r>-1</math>
שקולה להשערת רימן, ובאותה שנה הוכיח [[אדמונד לנדאו]] כי הטענה:
: <math>\sum_{k=1}^{m_n} |d_{k,n}| = O (n^r)\quad\forall r>1/2</math>
גם היא שקולה להשערת רימן

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:השערת רימן]]
[[קטגוריה:רקורסיה]]
[[קטגוריה:תורת המספרים]]