הצגת המקור של הדף "סדרת קושי"

{{סימון מתמטי}}
{{תמונות מרובות
| יישור = שמאל
| כיוון = אנכי
| רוחב = 200
| הערה1 = רצף האיברים של סדרת הקושי <math>x_{n}</math> מוצגים בנקודות כחולות. אם המרחב שמכיל את הסדרה הוא שלם, אזי לסדרה יש גבול במרחב.
| הערה2 = סדרה שאינה סדרת קושי. איברי הסדרה אינם מתקרבים זה לזה ככל שמתקדמים בסדרה.
| תמונה1 = Cauchy sequence illustration.svg
| תמונה2 = Cauchy sequence illustration2.svg
}}
ב[[אנליזה מתמטית]], '''סדרת קוֹשי''' היא [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה]] ש[[איבר (מתמטיקה)|אבריה]] הולכים ומצטופפים ככל שמתקדמים בסדרה. באופן מדויק יותר, סדרה <math>\left\{ a_n \right\}_{n=1}^{\infty}</math> נקראת '''סדרת קושי''' אם לכל <math>\varepsilon > 0</math> קיים <math>N</math> מתאים לו, כך שלכל <math>n,m > N</math> מתקיים <math>|a_n-a_m| < \varepsilon</math>. כלומר, לכל מרחק חיובי <math>\varepsilon</math>, קטן ככל שיהיה, יש איבר בסדרה שממנו והלאה ההפרש בין כל שני איברים קטן מ-<math>\varepsilon</math>. הגדרה זו תקפה לא רק עבור מספרים, אלא בכל [[מרחב מטרי]] <math>\left(X,d\right)</math>, כשמחליפים את התנאי האחרון <math>d\left(a_n,a_m\right) < \varepsilon</math>.

סדרת קושי נקראת על שם ה[[מתמטיקאי]] הצרפתי [[אוגוסטן לואי קושי]].

== מרחב מטרי ==
השימושיות של סדרות קושי נובעת מכך שב[[מרחב מטרי שלם|מרחבים מטריים שלמים]] (מרחבים בהם כל סדרות קושי מתכנסות ל[[גבול (מתמטיקה)|גבול]]) הקריטריון ל[[סדרה מתכנסת|התכנסות סדרה]] תלוי אך ורק באיברי הסדרה, בניגוד להגדרת ההתכנסות שתלויה גם באיברי הסדרה וגם בגבול עצמו. תכונה זו מנוצלת ב[[אלגוריתם|אלגוריתמים]], בהם ניתן להראות כי [[שיטה איטרטיבית|תהליך איטרטיבי]] מייצר סדרת קושי.

בכל מרחב מטרי, כל סדרה מתכנסת היא סדרת קושי. מאידך ישנם מרחבים מטריים בהם יש סדרות קושי שאינן מתכנסות. [[מרחב מטרי שלם]] הוא כזה שבו לכל סדרת קושי בו קיים [[גבול (מתמטיקה)|גבול]]. [[שדה המספרים הממשיים|המספרים הממשיים]] הם דוגמה למרחב מטרי שלם. דוגמה למרחב מטרי שאינו שלם היא הקטע הפתוח <math>\left(0,1\right)</math> עם המטריקה המושרית מהמספרים הממשיים, שכן הסדרה <math>\left\{ 1/n \right\}_{n=1}^{\infty}</math> היא סדרת קושי שאין לה גבול בקטע.

== הבהרה ==
לא מספיק לדרוש שההפרש בין כל שני איברים עוקבים הולך וקטן, לדוגמה בסדרה <math>a_n = \sqrt{n}</math>, ההפרש בין כל שני איברים עוקבים נעשה קטן יותר ככל שמתקדמים בסדרה: <math>a_{n+1}-a_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{2n}}</math>

אך עם זאת, ככל שערכי n גדלים, כך גם ערכי <math>a_n</math> גדלים באופן שרירותי. ולכן, לכל אינדקס n ומרחק d, קיים אינדקס m גדול מספיק שעבורו <math>a_m - a_n > d</math> (מתקיים עבור: <math>m > {(\sqrt{n} + d)}^2</math>). לכן, לא משנה כמה נתקדם בסדרה, איברי הסדרה לעולם לא יתקרבו זה אל זה, ולכן סדרה זו אינה סדרת קושי.

== ראו גם ==
*[[מבחני התכנסות לסדרות#אפיון התכנסות לפי קושי|אפיון התכנסות לפי קושי]]
* [[הגדרת הגבול לפי קושי]]

==קישורים חיצוניים==
* {{אנציקלופדיה למתמטיקה|Cauchy_sequence}}
* {{MathWorld}}

{{אנליזה מתמטית}}
{{טופולוגיה}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:סדרות מתמטיות]]
[[קטגוריה:מרחבים מטריים]]
[[קטגוריה:אוגוסטן לואי קושי]]
[[קטגוריה:התכנסות (מתמטיקה)]]