הצגת המקור של הדף "סדר (תורת החבורות)"

ב[[תורת החבורות]], למושג '''סדר''' יש שתי משמעויות שונות, אך קשורות.

==סדר של חבורה==
הסדר של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] הוא ה[[עוצמה (מתמטיקה)|עוצמה]] שלה, <math>|G|</math>, כלומר מספר האיברים אם החבורה סופית.

[[משפט לגראנז' (תורת החבורות)|משפט לגראנז']], שהוא בין המשפטים הבסיסיים בתורת החבורות, קובע שהסדר של חבורה סופית [[חילוק|מתחלק]] בסדר של כל [[תת חבורה|תת-חבורה]] שלה.

מהסדר של חבורה (סופית) אפשר להסיק רבות על המבנה שלה. בין המשפטים הבסיסיים בכיוון זה אפשר למנות את [[משפט קושי (תורת החבורות)|משפט קושי]] על קיומם של איברים בעלי סדר ראשוני, ואת [[משפטי סילו]] על קיומן של תת-חבורות שסדרן הוא חזקה של ראשוני.

==סדר של איבר בחבורה==
בהינתן חבורה <math>G</math> ואיבר כלשהו <math>g\isin G</math>, הסדר של <math>g</math> שמסומן <math>o(g)</math> הוא המעריך הטבעי הקטן ביותר <math>\,\!n</math> [[חזקה (מתמטיקה)|שבחזקתו]] איבר <math>g</math> שווה לאיבר היחידה של החבורה, כלומר: <math>g^n=e</math>. אם לא קיים מספר שכזה, נאמר שהסדר של <math>g</math> הוא אינסופי, ונסמן <math>o(g)=\infty</math>. הסדר של איבר בחבורה הוא הסדר של ה[[חבורה ציקלית|חבורה הציקלית]] הנוצרת על ידי האיבר, ומכאן הקשר בין סדר של איבר לסדר של חבורה.

מסקנה מיידית ממשפט לגראנז' היא שהסדר של איבר בחבורה <math>G</math> מחלק את הסדר של <math>G</math>. זאת מכיוון שהחבורה הציקלית שנוצרת על ידי האיבר היא תת-חבורה של <math>G</math> שסדרה כסדר האיבר. לכן לפי משפט לגראנז' סדר זה מחלק את הסדר של 𝐺. 

מכאן נובעת מסקנה מיידית חשובה נוספת: בהינתן חבורה סופית <math>G</math>, כל איבר בחבורה בחזקת סדר החבורה שווה לאיבר היחידה. נראה זאת: יהא <math>g\isin G</math> כלשהו, אז קיים <math>k</math> שלם כך ש-<math>k\cdot o(g) = |G|</math> (כי הסדר של <math>g</math> מחלק את הסדר של <math>G</math>). על כן: 
<math>g^{|G|}=g^{k\cdot o(g)}=\left(g^{o(g)}\right)^k=e^k=e</math>.

עוד מסקנה מיידית היא שחבורה מסדר שהוא [[מספר ראשוני]] היא בהכרח [[חבורה ציקלית|ציקלית]], וכל איבר פרט ליחידה הוא יוצר שלה (שכן הסדר של כל איבר פרט לאיבר היחידה שווה לסדר החבורה).

==דוגמה==
ל[[החבורה הסימטרית|חבורה הסימטרית]] <math>S_3</math> יש את לוח הכפל הבא:
<DIV dir=ltr align=right>
:{| cellspacing="0" cellpadding="8" border="1"
|-
!   •
! ''e'' || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''e''
| <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''t'' || ''u'' || ''v'' || ''w''
|-
! ''s''
| ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''v'' || ''w'' || ''t'' || ''u''
|-
! ''t''
| ''t'' || ''u'' || <span style="color:#009246">''e''</span> || ''s'' || ''w'' || ''v''
|-
! ''u''
| ''u'' || ''t'' || ''w'' || <span style="color:#009246">''v''</span> || ''e'' || ''s''
|-
! ''v''
| ''v'' || ''w'' || ''s'' || ''e'' || <span style="color:#009246">''u''</span> || ''t''
|-
! ''w''
| ''w'' || ''v'' || ''u'' || ''t'' || ''s'' || <span style="color:#009246">''e''</span>
|}
</DIV>
בחבורה זו יש שישה איברים, כלומר הסדר של החבורה, <math>|S_3|</math>, הוא 6.{{ש}}
לפי הגדרה, הסדר, <math>o(e)</math>, של איבר היחידה, <math>e</math>, הוא 1. הסדר של כל אחד מהאיברים <math>s,t,w</math> הוא 2 (מכפלת כל אחד מאיברים אלה בעצמו היא איבר היחידה), והסדר של כל אחד מהאיברים <math>u,v</math> הוא 3.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}
[[קטגוריה:תורת החבורות]]