הצגת המקור של הדף "סדר מלא"

ב[[תורת הקבוצות]], '''סדר מלא''' (או '''סדר ליניארי''') הוא [[יחס בינארי|יחס]] [[סדר חלקי|סדר]] המאפשר להשוות כל שני איברים בקבוצה עליה הוא מוגדר, למשל ליחס <math>\le</math> (קטן או שווה) מעל הטבעיים, לכל <math>a,b</math> מתקיים <math>a\le b</math> '''[[או (לוגיקה)|או]]''' <math>b\le a</math>. קבוצה הסדורה בסדר מלא נקראת '''קבוצה סדורה''' (או '''קבוצה סדורה ליניארית''' או '''שרשרת''').

דוגמאות:
*היחס "[[אי-שוויון (מתמטיקה)|קטן או שווה]]" על [[קבוצת המספרים הטבעיים]], המסומן ב-<math>(\N,\le)</math>, הוא סדר [[סדר מלא#הגדרה|מלא]]. 
*היחס "קטן" על קבוצת המספרים הטבעיים הוא  [[סדר חלקי]] [[סדר חלקי#יחסי סדר חלשים וחזקים|חזק]] [[סדר מלא#הגדרה|מלא]]. 
*על [[צבע]]י ה[[אור]] ב[[קשת בענן|קשת הצבעים]] ניתן להגדיר סדר מלא, לפי [[אורך גל|אורך הגל]] של כל צבע. לפי יחס סדר זה, [[סגול]] קטן מ[[כחול]] שקטן מ[[אדום]] וכו'.

המספרים הרציונליים והמספרים הממשיים הם קבוצות סדורות ליניארית [[סדר צפוף|צפופות]].

==הגדרה==
יחס [[סדר חלקי]] ([[סדר חלקי#יחסי סדר חלשים וחזקים|חלש או חזק]]) <math>\mathcal{R}</math> נקרא '''יחס סדר מלא''' (או "יחס סדר שלם", או "יחס סדר ליניארי") אם לכל <math>a\ne b</math> מתקיים <math>a\mathcal{R}b</math> או <math>b\mathcal{R}a</math>. קבוצה שמוגדר עליה יחס סדר מלא נקראת '''סדורה ליניארית''' (או "סדורה בשלמות").
 
==פעולות בין סדרים== 
'''חיבור סדרים''': החיבור של סדרים <math>(P,\le),(Q,\le)</math> מוגדר לפי "<math>P</math> ואז <math>Q</math>", כלומר הקבוצה <math>P+Q=P\times\{0\}\cup Q\times\{1\}</math> עם הסדר
:<math>\begin{align}x,y\in P,(x,0)\le(y,0)\iff x\le y\\a,b\in Q,(a,1)\le(b,1)\iff a\le b\end{align}</math>
ולכל <math>x\in P,a\in Q</math> מתקיים <math>x\le a</math>.

'''כפל סדרים''': יהיו <math>(P,\le),(Q,\le)</math> סדרים  אז נגדיר <math>Q\times P</math> עם הסדר המילוני הימני (העברי) כלומר: 

<math>(x_1,x_2)\le(y_1,y_2)</math> אם מתקיים:

<math>x_2\le y_2</math> או <math>y_2=x_2</math> וגם <math>x_1\le y_1</math>

'''הערות''': 
*אם <math>(P,\le),(Q,\le)</math> [[סדר טוב|סדרים טובים]] אז <math>P+Q,P\times Q</math> הם סדרים טובים.
*מכיוון שפעולת החיבור ופעולת הכפל מוגדרות היטב ניתן גם לדבר על '''[[חוק הפילוג|פילוג]] מימין''': יהיו <math>(M,\le),(P,\le),(Q,\le)</math> סדרים מלאים, אז מתקיים:
::<math>P\times(Q +M)=P\times Q+P\times M</math>
*עבור סדרים סופיים '''[[חוק הפילוג|פילוג]] משמאל''' מתקיים. אך עבור סדרים אינסופיים זה לא נכון.

==ראו גם==
*[[סדר טוב]]
*[[פונקציה שומרת סדר]]
*[[טיפוס סדר]]

==קישורים חיצוניים==
*{{לא מדויק|2020/01/10/order_relations|תורת הקבוצות - יחסי סדר}}
*{{MathWorld}}	

{{אלגוריתמי מיון}}
{{תורת הקבוצות}}

[[קטגוריה:קבוצות סדורות]]
[[קטגוריה:יחסים מתמטיים]]