הצגת המקור של הדף "סיגמא-אלגברה"

ב[[מתמטיקה]], '''סיגמא-אלגברה''' על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>X</math> היא משפחה של [[תת קבוצה|תת-קבוצות]] של <math>X</math>, הכוללת את הקבוצה הריקה, וסגורה ללקיחת מַשְׁלִים ולאיחוד בן מנייה (ראו ההגדרה להלן). לדוגמה, אוסף ה[[קבוצה מדידה|קבוצות המדידות]] ב[[מרחב מידה]] הוא סיגמא-אלגברה. השימוש בסיגמא-אלגברה נפוץ במיוחד ב[[תורת הקבוצות]], [[תורת המידה]] ו[[אלגברה בוליאנית|אלגבראות בוליאניות]].

== הגדרה ==

סיגמא-אלגברה על [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>X</math> היא משפחה <math>\mathcal{A}</math> של [[תת קבוצה|תת-קבוצות]] של <math>X</math>, המקיימת את התכונות הבאות:
# המשפחה כוללת את [[הקבוצה הריקה]] <math>\emptyset</math>.
# אם <math>E \in \mathcal{A}</math> אז <math>E^\complement = X \setminus E \in \mathcal{A}</math>, כלומר, המשפחה [[סגירות (אלגברה)|סגורה]] לפעולת לקיחת ה[[משלים (מתמטיקה)|משלים]].
# המשפחה [[סגירות (אלגברה)|סגורה]] ביחס ל[[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]]: אם <math>\{A_n\}_{n=1}^\infty \subseteq \mathcal{A}</math> אז <math>\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal{A}</math>.

משפחה שבה מתקיימות שתי התכונות הראשונות וגרסה חלשה של תכונה 3 (סגירות לאיחוד סופי, במקום לאיחוד בן מנייה) נקראת [[אלגברה של קבוצות]]; כל סיגמא-אלגברה היא אלגברה של קבוצות.

תכונות 2 ו-3 גוררות (באמצעות [[כללי דה מורגן]]) גם סגירות ביחס ל[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]].

== שימושים ומבנה ==

[[זוג סדור]] <math>( X, \mathcal{A} )</math>, כש-<math>X</math> קבוצה ו-<math>\mathcal{A}</math> הוא <math>\sigma</math>-אלגברה מעל <math>X</math>, נקרא '''[[מרחב מדיד]]'''. בצירוף [[פונקציית מידה]] <math>\mu</math> השלשה הסדורה <math>( X, \mathcal{A}, \mu )</math> נקראת מרחב מידה.

סיגמא-אלגברה מגדירה על המרחב <math>X</math> [[יחס שקילות]], שבו <math>x\equiv y</math> אם ורק אם כל קבוצה ב-<math>\mathcal{A}</math> הכוללת את <math>x</math> כוללת גם את <math>y</math>. אם המרחב <math>X</math> בן מנייה, מחלקות השקילות עצמן שייכות לאלגברה, ובמקרה כזה האלגברה מוגדרת באמצעותן (קבוצה שייכת לאלגברה אם ורק אם היא מהווה איחוד של [[מחלקות שקילות]]). מכאן נובע שכל מידה על מרחב בן מנייה היא [[מידה אטומית|אטומית]].

==דוגמאות==
* הסיגמא-אלגברה ה[[טריוויאלי (מתמטיקה)|טריוויאלית]] המינימלית: מכילה רק את <math>X</math> ואת הקבוצה הריקה.
* הסיגמא-אלגברה הטריוויאלית המקסימלית: מכילה את כל תת-הקבוצות של <math>X</math> ולמעשה, שווה ל[[קבוצת החזקה]] של <math>X</math>.
* לכל משפחה של סיגמא-אלגברות מעל <math>X</math>, גם החיתוך שלהן הוא סיגמא-אלגברה.
* הסיגמא-אלגברה של בורל: הסיגמא אלגברה המכילה את כל [[קבוצת בורל|קבוצות בורל]], היא הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות הפתוחות והקבוצות הסגורות. היא מכילה בין השאר:
** קבוצות סגורות, קבוצות פתוחות, [[קטע]]ים מכל הסוגים, קרניים (קטע עם קצה אחד שהוא אינסופי).
** קבוצות <math>G_\delta</math> (כלומר כאלו שהן [[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]] של [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]).
** קבוצות <math>F_\sigma</math> (כלומר קבוצה שהיא [[איחוד (מתמטיקה)|איחוד]] [[קבוצה בת מנייה|בן מנייה]] של [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]]).

== ראו גם ==
* [[אלגברה של קבוצות]]
* [[חוג של קבוצות]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:תורת המידה]]
[[קטגוריה:אלגברה בוליאנית]]
[[קטגוריה:משפחות של תת-קבוצות]]