הצגת המקור של הדף "סימן לוי-צ'יוויטה"

[[קובץ:Epsilontensor.svg|שמאל|ממוזער|250px|ייצוג וויזואלי של הטנזור]]
ב[[מתמטיקה]] וב[[פיזיקה]], '''סימן לֵוִי־צִ'יוִיטָה''' (ב[[אנגלית]]: Levi-Civita symbol, על שמו של ה[[מתמטיקאי]] [[טוליו לוי-צ'יוויטה]]) הוא [[פונקציה]] [[טנזור אנטי-סימטרי|אנטי־סימטרי]]ת על [[אינדקס (מתמטיקה)|אינדקס]]ים. סימן לוי־צ'יוויטה מסומן באות ה[[יוונית]] [[אפסילון]] (ε), ומאפשר במקרים מסוימים לקצר את רישומן של פעולות על [[וקטור (פיזיקה)|וקטור]]ים ועל [[טנזור]]ים.

==הגדרה==
סימן לוי-צ'יוויטה הבסיסי מוגדר ל[[n-יה סדורה|שלשה]] של אינדקסים <math>(i,j,k)</math> באופן הבא:
:<math display="block"> \epsilon_{ijk} = 
\begin{cases}
+1, & (i,j,k) \mbox{ is } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ or } (3,1,2) \\
-1, & (i,j,k) \mbox{ is } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ or } (2,1,3) \\
0, & \mbox{otherwise: }i=j \mbox{ or } j=k \mbox{ or } k=i
\end{cases}</math>

==תכונות והכללה==
סימן לוי־צ'יוויטה מתאר את [[מספר זוגי|זוגיות]] ה[[תמורה (מתמטיקה)|תמורה]] <math>\left(1,2,3\right)\mapsto\left(i,j,k\right)</math>: הוא שווה ל־({{D}}+1) אם התמורה זוגית, ל־({{D}}-1) אם התמורה אי־זוגית, ול־0 אם לפחות שניים מהאינדקסים זהים (כלומר, הפונקציה איננה תמורה).

מתיאור זה נובעת הכללה של סימן לוי־צ'יוויטה לכל [[n-יה סדורה]] של אינדקסים (אם <math>n>3</math>):
* הוא שווה ל־({{D}}+1) אם האינדקסים הם תמורה זוגית של <math>\ \left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right)</math>.
* הוא שווה ל־({{D}}-1) אם האינדקסים הם תמורה אי-זוגית של <math>\left( 1, 2, 3 , \cdots , n \right)</math>.
* הוא שווה ל־0 אם יש לפחות שני אינדקסים זהים. 

===זהויות===

עבור <math>n=3\!</math>, סימן לוי-צ'יוויטה מקיים מספר זהויות ראויות לציון עם [[הדלתא של קרונקר|הדלתא של קרונקר:]]
* <math>\sum_{i=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{imn} = \delta_{jm}\delta_{kn} - \delta_{jn}\delta_{km}</math>
* <math>\sum_{i,j=1}^3 \epsilon_{ijk}\epsilon_{ijn} = 2\delta_{kn}</math>
ולכל מספר של אינדקסים, מתקיים
* <math>\sum_{i,j,k,\dots=1}^n \epsilon_{ijk\dots}\epsilon_{ijk\dots} = n!</math>

==שימושים==
ב[[אנליזה וקטורית]] ב[[מרחב תלת-ממדי]], משמש סימן לוי־צ'יוויטה להגדרת [[מכפלה וקטורית]]:
:<math>
\mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
= \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k
</math>
ביתר פשטות, אם <math>\mathbf{a \times b} = \mathbf{c}</math>, אז
:<math>
c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k
</math>
או בכתיב מקוצר, לפי [[הסכם הסכימה של איינשטיין]]:
:<math>
\left(\mathbf{a \times b}\right)_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k
</math>
באופן דומה, אם מסמנים <math>(x,y,z)=\left(x_1,x_2,x_3\right)</math>, אפשר להגדיר בעזרת סימן לוי־צ'יוויטה את ה[[רוטור (מתמטיקה)|רוטור]]:
:<math>
\left(\operatorname{curl} \ \mathbf{a}\right)_i =\left(\nabla\times\mathbf{a}\right)_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \frac{\partial a_k}{\partial x_j}

</math>

==ראו גם==
* [[תמורה (מתמטיקה)]]
* [[חבורת התמורות]] <math>S_n</math>
* [[טנזור]]
* [[הדלתא של קרונקר]]

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:טנזורים]]
[[קטגוריה:סימנים מתמטיים]]