הצגת המקור של הדף "סינוס (טריגונומטריה)"

[[קובץ:Sine one period.svg|שמאל|ממוזער|250px|[[גרף של פונקציה|גרף]] הפונקציה סינוס]]
{{סימון מתמטי}}
'''סינוס''' (מסומן ב-<math> \sin</math>) היא [[פונקציות טריגונומטריות|פונקציה טריגונומטרית]] בסיסית, המתאימה לכל [[זווית]] [[מספר ממשי]] בין (1-) ל-1. הרחבות שונות של הפונקציה משמשות במגוון תחומים, כגון הגדרות שונות ב[[אנליזה מתמטית|אנליזה]] (ובפרט ב[[אנליזה מרוכבת]]). הפונקציה שימושית מאוד ב[[פיזיקה]], ב[[הנדסת חשמל]] ובתחומי מדע והנדסה אחרים. [[גרף של פונקציה|גרף הפונקציה]] משמש בפיזיקה לתיאור [[גל]].

==הגדרות==
===הגדרה גאומטרית===
[[קובץ:Rtriangle2.svg|שמאל|ממוזער|150px|במשולש זה, סינוס הזווית A שווה <math>\frac{a}{c}</math>]]
בהגדרתה הבסיסית ביותר, הערך של פונקציית הסינוס ב[[זווית]] נתונה היא ה[[יחס (בין מספרים)|יחס]] בין הניצב שמול הזווית לבין היתר ב[[משולש ישר-זווית]]. הגדרה זאת מתייחסת רק לזווית בתחום שבין 0 לבין 90 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (או <math>\frac{\pi}{2}</math> [[רדיאן|רדיאנים]]), כלומר ל[[זווית ישרה]]. משולשים עם זוויות זהות הם משולשים [[דמיון משולשים|דומים]], ויחס הצלעות בהם תמיד זהה. לכן הסינוס של כל זווית [[מוגדר היטב]].

===הרחבה===
[[קובץ:Trig functions on unit circle.svg|שמאל|ממוזער|250px|הגדרת הסינוס של מספר כלשהו <math>\ \theta</math>]]
ב[[מעגל היחידה]] ניתן להסתכל על [[רדיוס]] הנמתח מהמרכז לנקודה (x,y) כיתר של משולש ישר-זווית שניצביו ניצבים לצירים. מכיוון שאורך היתר הוא 1 נקבל שסינוס הזווית שבין ציר ה-x לרדיוס הוא בדיוק אורך ניצב המשולש המקביל לציר ה-y, כלומר שיעור ה-y של הנקודה (x,y).
עובדה זו מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס, לכל [[מספר ממשי]]: הסינוס של מספר כלשהו <math>\ \theta</math> הוא שיעור ה-y של הנקודה על מעגל היחידה, שהזווית בין הרדיוס הנמתח אליה לבין ציר ה-x הוא <math>\ \theta</math> (ברדיאנים).
[[קובץ:Sin drawing process.gif|מרכז|מסגרת|אנימציה המדגימה חישוב ערך הסינוס לפי מעגל היחידה]]

===טור טיילור===
כאשר הזווית נתונה ברדיאנים, ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס באמצעות [[טור טיילור]]:
:<math> \sin x = \ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}</math>

ניתן גם להסיק את הטור מתוך ההגדרה הקודמת של סינוס, על ידי [[נגזרת|גזירה]] חוזרת של הפונקציה. מהטור נובע [[קירוב זווית קטנה|קירוב סינוס לזוויות קטנות]]: <math>\sin x \approx x</math>, וזאת מכיוון שכאשר x קטן, החזקה השלישית שלו וכל החזקות הגבוהות יותר הן זניחות.

הגדרה זאת מאפשרת להגדיר את פונקציית הסינוס גם ל[[מספר מרוכב|מספרים מרוכבים]]. באמצעות [[נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)|נוסחת אוילר]] אפשר לקבל הגדרות נוספות לסינוס:
:<math>\ \sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} </math>
וכן,
: <math>\sin z = \frac{\sinh \left( i z\right) }{i}</math> (ראו [[פונקציות היפרבוליות|פונקציה היפרבולית]])

===הגדרות נוספות===
מלבד דרכים חשובות אלו, ישנן דרכים נוספות להגדיר את פונקציית הסינוס.

ניתן להגדיר את פונקציית הסינוס גם באמצעות [[שבר משולב]]:
:<math> \sin x =
\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 +
\cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 +
\cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}.
</math>
שבר זה מתקבל מטור טיילור שלעיל.

דרך נוספת היא בעזרת [[מכפלה אינסופית]]:
:<math>\sin x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)</math>

מכפלה זו היא המפתח לפתרונו של [[אוילר]] ל[[בעיית בזל]].

==תכונות==
* פונקציית הסינוס היא [[פונקציה אי-זוגית|אי-זוגית]], דהיינו: <math>\sin (-x) = -\sin (x)</math>.
* פונקציית הסינוס הממשית היא [[פונקציה מחזורית|מחזורית]], בעלת מחזור של <math>2\pi</math>. זאת משום שבייצוג של מעגל היחידה, סיבוב של <math>2\pi</math> מחזיר את הנקודה P לנקודת המוצא.
* פונקציית הסינוס [[פונקציה רציפה|רציפה]], [[פונקציה גזירה|גזירה]] ו[[פונקציה אינטגרבילית|אינטגרבילית]] לכל <math>x</math>.
* לפונקציה יש [[אינסוף]] [[נקודת קיצון|נקודות קיצון]] מהצורה: <math>x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k</math> (מקסימום) ו-<math>x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi k</math> (מינימום), כאשר <math>k</math> [[מספר שלם]]. הערך בנקודות המקסימום הוא 1, ובנקודות המינימום ({{משמאל לימין|-1}}).
* לפונקציה יש אינסוף [[שורש (של פונקציה)|שורש]]ים מהצורה: <math>x =\pi k</math>, כאשר <math>k</math> מספר שלם. אלו כל השורשים של הפונקציה במישור המרוכב.
* ה[[תמונה של פונקציה|תמונה]] של פונקציית הסינוס הממשית היא: <math>[-1,1]</math>.
** נובע מכך כי פונקציית הסינוס הממשית [[פונקציה חסומה|חסומה]] בכל [[תחום ההגדרה]] שלה, <math>\mathbb{R}</math>.

==נגזרת==
ה[[נגזרת]] של פונקציית הסינוס היא פונקציית ה[[קוסינוס]]:
:<math>{d \over dx} \sin x = \cos x</math>

=== הוכחה בעזרת הגבול של sin(x)/x ===
לפי הגדרתה, הנגזרת בנקודה <math>x_0</math> שווה ל[[גבול של פונקציה|גבול]]:
:<math>\lim_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0}</math>
על פי ה[[זהויות טריגונומטריות|זהות הטריגונומטרית]]:
<math>\sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \; </math> {{ש}}
נקבל:
:<math>\lim_{x \to x_0} \frac{\sin x - \sin x_0}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{ 2 \cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0}\frac{\sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{\frac{x - x_0}{2} }\cdot\cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \;</math>
נשתמש בגבול הטריוויאלי: <math>\ \lim_{x \to x_0}{x - x_0 \over 2} = 0</math>, ב[[הגבול של sin(x)/x|גבול המפורסם]]: <math>\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t)}{t}=1</math> וברציפות הפונקציות כדי לקבל:
:<math>\lim_{x \to x_0}\frac{\sin\left({x - x_0 \over 2}\right) \;}{\frac{x - x_0}{2} }\cdot\cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \; =\lim_{x \to x_0} 1 \cdot \cos\left({x + x_0 \over 2}\right) \; = \cos\left({2x_0 \over 2}\right) \; = \cos x_0</math>.

'''מש"ל.'''

בעזרת [[כלל השרשרת]] ניתן לקבל שהנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס, ועל כן הנגזרת הרביעית של סינוס שווה לפונקציית הסינוס עצמה. כך מוצגת דרך נוספת להגדיר את פונקציית הסינוס בעזרת [[משוואה דיפרנציאלית]]:

פונקציית הסינוס היא פתרון המשוואה <math>\ f''(x) = - f(x)</math> כאשר <math>\ f(0) = 0</math> ו-<math>\ f'(0) = 1</math>.{{הערה|{{לא מדויק|2010/03/31/sine_and_cosine_via_ode/|נעים להכיר – סינוס וקוסינוס (גרסת המשוואה הדיפרנציאלית)}}}}

ה[[פונקציה קדומה|פונקציה הקדומה]] של הסינוס היא מינוס קוסינוס: <math>\int \sin x \,dx = -\cos x+C</math>

אפשר גם לגזור את הסינוס באמצעות הנגזרת של הפונקציה ההפוכה ארכסינוס, שהיא שווה ל<math>\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}</math> על ידי שימוש בכלל לנגזרת פונקציה הפוכה. אמנם את הנגזרת של הארכסינוס מקובל להוכיח בדרך כלל באמצעות הנגזרת של סינוס, ואם רוצים לגזור את הארכסינוס בנפרד צריך להשתמש באינטגרל וב[[המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי|משפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי]].

=== הוכחה בעזרת טורי חזקות ===
את פונקציות הסינוס והקוסינוס ניתן להגדיר כפתרונות של המשוואות הדיפרנציאליות <math>y_1'=y_2, y_2'=-y_1</math> עם תנאי ההתחלה <math>y_1(0)=0, y_2(0)=1</math>. הגדרה שכזו מובילה להצגת הפונקציות באמצעות [[טור מקלורין|טורי מקלורין]]:

<math>\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>

<math>\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}</math>

מכיוון שפעולת הגזירה היא [[אופרטור ליניארי]], גזירה של הטור המציג את פונקציית הסינוס תוביל לטור זהה לזה המגדיר את פונקציית הקוסינוס.

<math>(\sin(x))'=\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\Bigr)'=\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{(-1)^n(x^{2n+1})'}{(2n+1)!}
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n(2n+1)x^{2n}}{(2n+1)!}=
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}=\cos(x)</math>

הגדרת הפונקציות והוכחת הנגזרת בצורה כזו, פותרות את ה[[הסבר מעגלי|מעגליות]] של השימוש ב[[כלל לופיטל]] כדי להוכיח את [[הגבול של sin(x)/x]], אך דורשות הוכחה דומה כדי להראות כי הפונקציות האלו יכולות לשמש בחישובי [[טריגונומטריה]].

==ערכים==
[[קובץ:Unit circle angles.svg|שמאל|ממוזער|450px|ערכי הפונקציה לזוויות שונות על מעגל היחידה]]
להלן טבלת ערכים שהפונקציה מקבלת עבור זוויות נפוצות:
{| border="1" cellpadding="5" cellspacing="0"
|-----
! style="background:#ffdead;" colspan="3" | ''x'' (זווית)
! colspan="2" style="background:#ffdead;" | sin ''x''
|-----
| style="background:#efefef;" align="Center" | [[מעלה (זווית)|מעלות]]
| style="background:#efefef;" | [[רדיאנים]]
| style="background:#efefef;" align="Center" | [[גראד (זווית)|גראדים]]
| style="background:#efefef;" align="Center" | במדויק
| style="background:#efefef;" | קירוב עשרוני
|-----
| align="Center" | 0° || align="Center" | 0
| align="Center" | 0<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | 0 || rowspan="2" | 0
|-----
| align="Center" | 180° || align="Center" | <math>\pi</math>
| align="Center" | 200<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 15°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{12}</math>
| align="Center" | 16<sup>2</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}</math>
| rowspan="2" | 0.258819045102521
|-----
| align="Center" | 165°
| align="Center" | <math>\frac{11 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 183<sup>1</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 30°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{6}</math>
| align="Center" | 33<sup>1</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{1}{2}</math>
| rowspan="2" | 0.5
|-----
| align="Center" | 150°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{6}</math>
| align="Center" | 166<sup>2</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 45°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{4}</math>
| align="Center" | 50<sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\sqrt{\frac{1}{2}}</math>
| rowspan="2" | 0.707106781186548
|-----
| align="Center" | 135°
| align="Center" | <math>\frac{3 \cdot \pi}{4}</math>
| align="Center" | 150<sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 60°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{3}</math>
| align="Center" | 66<sup>2</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{3}}{2}</math>
| rowspan="2" | 0.866025403784439
|-----
| align="Center" | 120°
| align="Center" | <math>\frac{2 \cdot \pi}{3}</math>
| align="Center" | 133<sup>1</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 75°
| align="Center" | <math>\frac{5 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 83<sup>1</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
| align="Center" rowspan="2" | <math>\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}</math>
| rowspan="2" | 0.965925826289068
|-----
| align="Center" | 105°
| align="Center" | <math>\frac{7 \cdot \pi}{12}</math>
| align="Center" | 116<sup>2</sup>/<sub>3</sub><sup>g</sup>
|-----
| align="Center" | 90°
| align="Center" | <math>\frac{\pi}{2}</math>
| align="Center" | 100<sup>g</sup> || align="Center" | 1
| 1
|}
sup>1

==זהויות==
{{הפניה לערך מורחב|זהויות טריגונומטריות}}
* פונקציית הסינוס מקיימת: <math>\ \sin(-\theta) = -\sin\theta</math> וכן <math>\ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta</math>
* בעזרת פונקציית הסינוס אפשר לבטא את חמש הפונקציות הבסיסיות האחרות (השורשים יכולים להיות חיוביים ושליליים): <math>\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\cot\theta = {\sqrt{1 - \sin^2\theta} \over \sin \theta} </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\csc\theta = {1 \over \sin \theta} </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\sec\theta = {1 \over \sqrt{1 - \sin^2\theta}} </math>
* סכום זוויות: <math>\sin(\theta \pm \varphi) = \sin \theta \cos \varphi \pm \cos \theta \sin \varphi</math>
* זווית כפולה: <math>\ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta </math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\ \sin 3\theta = 3 \sin \theta- 4 \sin^3\theta</math> ובאופן כללי <math>\sin n\theta = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k \theta\,\sin^{n-k} \theta\,\sin\left(\frac{1}{2}(n-k)\pi\right)</math>
* חצי זווית: <math>\sin \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}</math>
* סכום סינוסים: <math>\sin \theta + \sin \varphi = 2 \sin\left( \frac{\theta + \varphi}{2} \right) \cos\left( \frac{\theta - \varphi}{2} \right)</math> {{כ}}'''<big>,</big>''' <math>\sin \theta - \sin \varphi = 2 \cos\left({\theta + \varphi \over 2}\right) \sin\left({\theta - \varphi\over 2}\right) \; </math>

==הפונקציה ההפוכה==
[[קובץ:Arcsine.svg|שמאל|ממוזער|200px|גרף פונקציית הארכסינוס]]
ה[[פונקציה הפוכה|פונקציה ההפוכה]] לפונקציית הסינוס נקראת '''ארקסינוס''' ומסומנת <math> \ \arcsin </math> או <math> \ \sin^{-1} </math>. הפונקציה מוגדרת לערכים שבקטע
<math>\ [-1 ,1]</math>, וכיוון שפונקציית הסינוס אינה [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]], ניתן להחליט איזה טווח ערכים היא תקבל. נהוג להגדיר אותה לטווח הערכים <math>\ [-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}]</math>. הנגזרת שלה היא <math>{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}</math>.
{{-}}

==משפט הסינוסים==
{{ערך מורחב|משפט הסינוסים}}
משפט הסינוסים הוא משפט הקובע את הקשר בין [[צלע (גאומטריה)|צלע]]ות ה[[משולש]] וזוויותיו, תוך שימוש בפונקציית הסינוס:
:<math>{a \over \sin \alpha}={b \over \sin \beta}={c \over \sin \gamma}=2R</math>
כאשר הזוויות <math> \alpha,\beta,\gamma </math> נמצאות מול הצלעות a, b, c בהתאמה, ו-R הוא רדיוס ה[[מעגל חוסם|מעגל החוסם]] את המשולש.

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה|שם=Category:Sine function|תצוגה=סינוס}}
* {{MathWorld|Sine|סינוס}}
* [http://www.freewebs.com/trigo/ טריגוקליק] - אתר עזר לפתרון בעיות בסינוס, קוסינוס וטנגנס

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

{{טריגונומטריה}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:פונקציות טריגונומטריות]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]