הצגת המקור של הדף "סכום הזוויות במשולש"

'''סכום הזוויות במשולש''' הוא סכומן של שלוש ה[[זווית|זוויות]] הפנימיות ב[[משולש]]. ב[[גאומטריה אוקלידית]] סכום זה הוא תמיד 180 [[מעלה (זווית)|מעלות]] (שהן <math>\pi</math> [[רדיאן|רדיאנים]]). ב[[גאומטריה לא-אוקלידית|גאומטריות לא-אוקלידיות]] לסכום זה ערך אחר. סכום הזוויות במשולש (והתכונות הנגזרות ממנו) הוא אחד המאפיינים הבולטים המבדילים בין הגאומטריה האוקלידית לגאומטריות הלא-אוקלידיות.

==בגאומטריה אוקלידית==
[[קובץ:Triangle angles sum to 180 degrees.svg|ממוזער|230px|שמאל|הוכחת סכום הזוויות במשולש בגאומטריה אוקלידית]]
בגאומטריה אוקלידית סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180 מעלות. [[הוכחה]] לכך ניתנה כבר בספרו של [[אוקלידס]], "[[יסודות (ספר)|יסודות]]".{{הערה|[https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI32.html אוקלידס, '''יסודות''', ספר I, טענה 32]}}

הוכחה: במשולש ABC נעביר דרך ה[[קודקוד]] A [[ישרים מקבילים|ישר מקביל]] ל[[צלע (גאומטריה)|צלע]] BC. הזוויות XAC ו-ACB הן [[זוויות מתחלפות]], ולכן שוות זו לזו, וכך הזווית ABC והזווית שבין הישר AX והצלע AB, כלומר סכום שלוש הזוויות הפנימיות במשולש שווה ל[[זווית שטוחה]], כלומר ל-180 מעלות.

המשפט "סכום הזוויות במשולש הוא תמיד 180 מעלות" שקול ל[[אקסיומת המקבילים]]. בגאומטריות לא-אוקלידיות, שבהן אקסיומה זו אינה מתקיימת, סכום הזוויות במשולש שונה מ-180.

==בגאומטריה ספירית==
[[קובץ:Spherical triangle 3d.png|שמאל|230px|ממוזער|משולש בגאומטריה ספירית]]
[[גאומטריה ספירית]] היא גאומטריה לא אוקלידית, העוסקת בתכונות של ישרים על [[ספירה (גאומטריה)|ספירה]], היינו מעטפת של [[כדור (גאומטריה)|כדור]]. בגאומטריה ספירית נקודה היא זוג [[נקודות אנטיפודיות]] על פני הספירה, והקווים הישרים הם "[[מעגל גדול|מעגלים גדולים]]" - כאלה שרדיוסם שווה לרדיוס הכדור.

במשולש בגאומטריה ספירית, כל אחת מהזוויות <math>\alpha</math> ו-<math>\beta</math> היא 90 מעלות, ונוספת עליהן הזווית <math>\gamma</math>, כך שסכום שלוש הזוויות הוא תמיד יותר מ-180 מעלות, ויכול להגיע עד 540 מעלות.

גם ב[[גאומטריה אליפטית]] סכום הזוויות במשולש גדול מ-180 מעלות.

{{-}}

==בגאומטריה היפרבולית==
[[קובץ:Hyperbolic triangle.svg|ממוזער|230px|משולש על [[משטח (טופולוגיה)|משטח]] היפרבולי]]
[[גאומטריה היפרבולית]] היא גאומטריה לא אוקלידית שבה אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה הבאה: "דרך כל [[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] שמחוץ ל[[ישר]] עוברים לפחות שני ישרים מקבילים לישר זה".

בגאומטריה היפרבולית סכום הזוויות במשולש תמיד קטן מ-180 מעלות. ב[[משולש אידיאלי]] {{אנ|Ideal triangle}} כל אחת משלוש הזוויות הפנימיות גודלה אפס, ולכן גם סכום הזוויות במשולש זה הוא אפס. המשפט הקרוי [[Theorema Elegantissimum]], שהוא מקרה פרטי של [[משפט גאוס-בונה]], קובע כי המגרעת הזוויתית של המשולש, כלומר ההפרש בין סכום זוויותיו ל-180 מעלות, שווה לאינטגרל על [[עקמומיות]] ([[עקמומיות גאוס]]) המשטח בתחום המשולש.

==סכום הזוויות החיצוניות במשולש==
[[זווית חיצונית]] במשולש היא הזווית שבין צלע להמשך הצלע הסמוכה. בהתאם להגדרה זו, הזווית הפנימית והזווית החיצונית הצמודה לה יוצרות תמיד [[זווית שטוחה]], כלומר סכומן הוא 180 מעלות, ולכן הסכום של שלוש הזוויות הפנימיות ושלוש הזוויות החיצוניות הוא 540 מעלות. כתוצאה מכך, בגאומטריה אוקלידית סכום הזוויות החיצוניות במשולש שווה תמיד ל-360 מעלות, בגאומטריה ספירית הוא פחות מ-360 מעלות, ובגאומטריה היפרבולית הוא יותר מ-360 מעלות.

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים}}

[[קטגוריה:משולש]]
[[קטגוריה:גאומטריה אוקלידית]]
[[קטגוריה:גאומטריה לא אוקלידית]]