הצגת המקור של הדף "סכום של שני ריבועים"

הבעיה של הצגת מספר נתון כ'''סכום של שני [[מספר ריבועי|ריבועים]]''', כלומר בצורה <math>\ a^2+b^2</math>, היא מן הבעיות הקלאסיות ב[[תורת המספרים]]. הבעיה נזכרת בכתבי [[דיופנטוס]], שניסח אותה באופן גאומטרי: בהינתן מספר x, למצוא [[משולש ישר-זווית]] בעל [[צלע (גאומטריה)|צלעות]] [[מספר שלם|שלמות]] או [[מספר רציונלי|רציונליות]] שאורך היתר שלו הוא x. [[פייר דה פרמה|פרמה]] טען (ללא הוכחה) שאפשר להציג מספר שלם כסכום של שני ריבועים, [[אם ורק אם]] כל [[גורם ראשוני]] מהצורה 4m-1 מופיע ב[[חזקה (מתמטיקה)|חזקה]] זוגית. תוצאה זו, שאותה חקר והוכיח [[לאונרד אוילר]], נקראת לפעמים '''משפט שני הריבועים של פרמה'''.

במספר ההצגות הממוצע של מספר כסכום של שני ריבועים מטפלת [[בעיית המעגל של גאוס]].

== היסטוריה ==

ב- [[1225]] הציג והוכיח [[פיבונאצ'י]] את נוסחת המכפלה <math>\ (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac\pm bd)^2 + (ad\mp bc)^2</math>, שהייתה מוכרת כנראה כבר לדיופנטוס, אף על פי שהלה לא ניסחה במפורש. מן ה[[נוסחה]] עולה שכדי להציג מספר נתון כסכום של שני ריבועים שלמים, די להציג באופן הזה את גורמיו הראשוניים; אז אפשר להיעזר בנוסחה כדי לקבל הצגות עבור המכפלה. לדוגמה, מן ההצגות <math>\ 3^2+2^2=13</math> ו- <math>\ 1^2+2^2=5</math>, אפשר לקבל את <math>\ 8^2+1^2=4^2+7^2=65</math>. 

ב- [[1638]] הציע [[פייר דה פרמה|פרמה]] ל[[דקארט]] להוכיח שלא ניתן להציג מספר מן הצורה <math>\ 4k-1</math> כסכום של שני ריבועים. כעבור ימים ספורים שלח דקארט את הבעיה ופתרונה ל[[מרן מרסן|מרסן]]: הריבוע של כל מספר שלם הוא מן הצורה <math>\ 4m</math> או <math>\ 8m+1</math>. ב-[[1659]] כתב פרמה ל[[בלז פסקל|פסקל]] שהוא מצא הוכחה לכך שניתן להציג כל ראשוני מהצורה 4k+1 כסכום של שני ריבועים, בשיטה של [[נסיגה אינסופית]]. 

פרמה המשיך לעסוק בבעיה גם אחר-כך, וכאשר פרסם ב-[[1670]] קובץ הערות על הספר "[[אריתמטיקה (ספר)|אריתמטיקה]]" של דיופנטוס, התייחס גם ל[[משוואה]] <math>\ a^2+b^2=n</math>. פרמה טען שאם n ראשוני מהצורה 4k+1, אז אפשר לפתור את המשוואה באופן יחיד (פרט להחלפת המשתנים, ולשינוי הסימן), וכן, שאם <math>\ n=p^k</math> ו- p ראשוני מהצורה הנזכרת, אז יש למשוואה בדיוק <math>\ \left\lfloor{\frac{k+1}{2}}\right\rfloor</math> פתרונות. בעזרת נוסחת המכפלה, הציג פרמה שיטה למציאת מספרים שיש להם בדיוק m הצגות כסכום של שני ריבועים. 

ל-Bernard Frénicle de Bessy {{אנ|Bernard Frénicle de Bessy}} מיוחסת ההבחנה שהצגת מספר כסכום של שני ריבועים בשתי דרכים שונות מאפשרת ל[[פירוק לגורמים של מספר שלם|פרק אותו לגורמים]].

למעשה, אם <math>n = a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}</math> הן הצגות שונות של <math>n</math> כסכום של 2 ריבועים, ניתן להגדיר: <math>l = \left( \frac{a - c}{\gcd(a - c, d - b)} \right)</math>, <math>m = \left( \frac{d - b}{\gcd(a - c, d - b)} \right)</math> ואז <math>l^{2} + m^{2}</math> הוא גורם [[טריוויאלי (מתמטיקה)|לא טריוויאלי]] של <math>n</math>. הפונקציה <math>\gcd(a,b)</math> מסמלת את ה[[מחלק משותף מקסימלי|מחלק המשותף המקסימלי]] של a ושל b.

ב- [[1747]], במכתב ל[[גולדבך]], הוכיח [[לאונרד אוילר]] שאם a ו- b [[מספרים זרים|זרים]], אז כל גורם של <math>\ a^2+b^2</math> ניתן להצגה כסכום של שני ריבועים. ההוכחה, המתאימה לתיאורו של פרמה על נסיגה אינסופית (ראו להלן), היא הראשונה שעל קיומה יש ראיות ברורות. אוילר עסק בבעיה זו פעמים רבות, ובאחת ההזדמנויות (ספרו "אלגברה", [[1770]]) העיר שאת נוסחת המכפלה אפשר להוכיח באמצעות חישוב ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה המרוכבת]] של המכפלה <math>\ (a+b\sqrt{-1})(c+d\sqrt{-1})</math>. היום ידוע שאפשר להוכיח את כל התכונות הרצויות של התבנית <math>\ x^2+y^2</math> בעזרת ה[[חוג אוקלידי|אוקלידיות]] של [[חוג השלמים של גאוס]], <math>\ \mathbb{Z}[\sqrt{-1}]</math>.

מאוחר יותר, [[אדריאן-מארי לז'נדר]] (ב-1798) ו[[קרל פרידריך גאוס]] (ב-1801) סיפקו תוצאות על מספר ההצגות של מספר כסכום של שני ריבועים, בעוד [[קרל גוסטב יעקב יעקובי]] נתן ביטוי אלגנטי יותר ב-1829, אותו הוכיח מספר שנים מאוחר יותר (ב-1834) דרך התורה החדשה של טורים אינסופיים של [[פונקציה אליפטית|פונקציות אליפטיות]].

== הוכחה באמצעות נסיגה ==
נוכיח שאם p מספר ראשוני השקול ל-1 מודולו 4, אז אפשר להציג אותו כסכום של שני ריבועים. ידוע ש- 1- הוא [[שארית ריבועית]] מודולו p, כלומר, קיים x כך ש- <math>\ x^2+1\equiv 0 \pmod{p}</math>. אם נבחר פתרון x כך ש-<math>|x| < p/2 </math>, מתקבלת הצגה <math>\ x^2+1=mp</math> כאשר <math>\ m = \frac{x^2+1}{p} < p/4</math>. נתבונן בהצגה <math>\ x^2+y^2=mp</math> שבה x,y אינם מתחלקים ב- p, ונניח ש-<math>\ 1 < m</math>. הפתרון יושג על ידי [[הוכחה בנסיגה אינסופית]]. על ידי חילוק עם שארית של x,y ב-m אפשר לכתוב <math>\ x=mc+x_1,\, y=md+y_1</math>, כאשר <math>\ |x_1|,|y_1|\leq m/2</math>. כך יוצא ש- <math>\ x_1^2+y_1^2 \equiv x^2+y^2 \equiv 0 \pmod{m}</math>, ומצד שני <math>\ x_1^2+y_1^2<m^2</math>. מכאן ש- <math>\ x_1^2+y_1^2=mm_1</math> עבור <math>\ 1\leq m_1<m</math>.

מנוסחת המכפלה יוצא ש- <math>\ m^2m_1p = (mp)(mm_1) = (x^2+y^2)(x_1^2+y_1^2)=(xx_1+yy_1)^2+(xy_1-x_1y)^2</math>, אבל שני הגורמים <math>\ xx_1+yy_1,\, xy_1-x_1y</math> מתחלקים ב- m. לאחר שמחלקים את המשוואה ב- <math>\ m^2</math> מתקבלת הצגה של <math>\ m_1p</math> כסכום של שני ריבועים.

'''דוגמה'''. נציג את p=89 כסכום של שני ריבועים. פתרון המשוואה <math>\ x^2+1 \equiv 0 \pmod{p}</math> הוא <math>\ x=\pm 34</math>, ואכן <math>\ 34^2+1 = 13 \cdot 89</math>, כלומר <math>\ m = 13</math>. ההצגה של כפולת p כסכום שני ריבועים היא <math>\ 34^2+1^2 = 13 \cdot 89</math>. נחלק את x=34 ו-y=1 עם שארית ב-m=13, ונקבל <math>\ 34 = 3 \cdot 13 + (-5)</math> ו-<math>\ 1 = 0 \cdot 13 + 1</math>, כלומר <math>\ x_1 = -5, y_1 = 1</math>. אכן, <math>\ (-5)^2+1^2 = 2\cdot 13</math>, כלומר <math>\ m_1 = 2</math>. מנוסחת המכפלה יוצא <math>\ (13\cdot 89) \cdot (2 \cdot 13) = (34^1+1^2)((-5)^2+1^2) = (-169)^2+(39)^2</math>, וכשמחלקים ב-<math>\ 13^2</math> מקבלים את ההצגה <math>\ 13^2 + 3^2 = 2 \cdot 89</math>. נחזור לתחילת התהליך, והפעם עם m=2. ההצגה של כפולת p כסכום שני ריבועים היא <math>\ 13^2+3^2 = 2\cdot 89</math>. נחלק את x=13 ו-y=3 ב-m=2, ונקבל <math>\ 13 = 6 \cdot 2 + 1</math> ו-<math>\ 3 = 1 \cdot 2 + 1</math>, כלומר <math>\ x_1 = y_1 = 1</math>. אכן, <math>\ 1^2+1^2 = 1\cdot 2</math>, כלומר <math>\ m_1 = 1</math>. מנוסחת המכפלה יוצא <math>\ (2\cdot 89) \cdot (1 \cdot 2) = (13^1+3^2)(1^2+1^2) = (16)^2+(10)^2</math>, וכשמחלקים ב-<math>\ 2^2</math> מקבלים את ההצגה <math>\ 8^2 + 5^2 = 89</math>.

== מספר ההצגות של מספר כסכום של שני ריבועים ==

גאוס טען, במאמר 182 של [[מחקרים אריתמטיים]] שלו, שאם M הוא מספר שנכתב בצורה <math>M = 2^{{\mu}}Sa^{{\alpha}}b^{{\beta}}\cdots </math>, כאשר <math>a,b,...</math> הם גורמים ראשוניים מהצורה <math> 4n + 1 </math>, ו-S הוא מכפלת כל הגורמים הראשוניים של M מהצורה <math>4n + 3</math> (ו-S חייב להיות ריבוע), אזי ישנם:

<math> k = \frac {{1}}{{2}}(\alpha + 1)(\beta + 1)\cdots </math>

הצגות שונות של M כסכום של שני ריבועים. אם <math> \alpha,\beta,... </math> כולם זוגיים אז יש להוסיף <math>\frac {{1}}{{2}}</math> לביטוי הנ"ל כדי לקבל את מספר ההצגות. משמעות התוצאה היא שמספר ההצגות תלוי רק במעריכים של הגורמים הראשוניים מהצורה <math> 4n + 1 </math> ולא תלוי בכלל בגורמים מהצורה <math>4n + 3</math> (כלומר אין קשר ל-S), בשונה מהוכחת הקיום של הצגה כסכום של שני ריבועים, שם קיומה של הצגה תלוי בקיומו של [[שורש ריבועי]] טבעי ל-S.

== הקשר למספרים מרוכבים ==

הסכום <math>\ x^2+y^2</math> הוא גם ה[[נורמה (אלגברה)|נורמה]] של המספר המרוכב <math>\ x+y i</math> כאשר <math>\ i = \sqrt{-1}</math>. כלומר, כדי להציג את n כסכום של שני ריבועים, עלינו למצוא מספר מרוכב <math>\ x+y i</math>, בעל מקדמים שלמים, שהנורמה שלו היא n. את הבעיה הזו אפשר לפתור בעזרת התכונות האריתמטיות של [[חוג השלמים של גאוס]], <math>\ \mathbb{Z}[i]</math>, שהוא [[חוג אוקלידי]] ולכן [[תחום פריקות יחידה]]. את הראשוניים של החוג הזה קל למצוא: לאור ההוכחה לעיל, כל מספר ראשוני טבעי השקול ל-1 מודולו 4 אפשר להציג כנורמה (כלומר לפרק למכפלה של שני גורמים צמודים), ואילו [[מספר ראשוני]] טבעי השקול ל-3 מודולו 4 נשאר ראשוני גם בחוג השלמים של גאוס. לכן הראשוניים בחוג השלמים של גאוס שייכים לשלוש מחלקות: הראשוני 1+i; הראשוניים הטבעיים השקולים ל-3 מודולו 4; והאיברים x+yi  כאשר x^2+y^2 ראשוני השקול ל-1 מודולו 4. כעת, כדי להציג את n כסכום של שני ריבועים, יש לפרק אותו לגורמים מעל חוג השלמים, ואחר-כך מעל חוג השלמים של גאוס. אם גורמי הפירוק מסתדרים בזוגות צמודים זה לזה, מתקבלת הצגה של n כסכום של שני ריבועים.

== ראו גם ==

* [[משפט ארבעת הריבועים של לגראנז']] 
* [[משפט הורוויץ (אלגברה)|משפט הורוויץ]] על נוסחאות מכפלה
* [[תבנית ריבועית]]
* [[פונקציית סכום הריבועים]]

== לקריאה נוספת ==

<div style="direction: ltr;">
* History of the Theory of Numbers, Vol. II, Chapter IV: sum of two squares; L.E.Dickson, 1920.
* Intoroduction to the Theory of Numbers, G.H. Hardy & E.M. Wright, Chapter XX, The representation of a number by two or four squares, 1979.
</div>

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:משפטים בתורת המספרים]]
[[קטגוריה:משוואות דיופנטיות]]
[[קטגוריה:לאונרד אוילר]]
[[קטגוריה:מספרים ריבועיים]]
[[קטגוריה:תורת המספרים האדיטיבית]]