הצגת המקור של הדף "ספקטרום של מטריצה"

במתמטיקה, ה'''ספקטרום''' של [[מטריצה]] היא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] של [[ערך עצמי|ערכיה העצמיים]] של המטריצה. באופן כללי יותר, אם <math>T\colon V \to V</math> היא [[העתקה ליניארית]] על [[מרחב וקטורי]] ממימד סופי, הספקטרום שלה הוא הקבוצה של [[סקלר (מתמטיקה)|סקלרים]] <math>\lambda</math> כך ש- <math>T-\lambda I</math> לא הפיכה. ה[[דטרמיננטה]] של המטריצה שווה למכפלת הערכים העצמיים שלה. בדומה, [[עקבה (אלגברה)|העקבה]] של המטריצה שווה לסכום הערכים העצמיים שלה.

מנקודת מבט זו, נוכל להגדיר [[פסאודו-דטרמיננטה]] להיות מכפלת הערכים העצמיים ששונים מ-0 של המטריצה. הצפיפות של [[התפלגות רב-נורמלית]] משתמשת בפסאודו-דטרמיננטה זו.

בשימושים רבים, כמו [[PageRank]], אנו מעוניינים בערך העצמי הדומיננטי, כלומר הגדול ביותר ב[[ערך מוחלט]]. בשימושים נוספים, הערך העצמי הקטן ביותר בערך מוחלט חשוב, אבל באופן כללי, הספקטרום כולו מספק מידע רב על המטריצה.

== הגדרה ==
יהי ''V'' [[מרחב וקטורי]] ממימד סופי מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] כלשהו ''K'' ונניח ש ''T'' : ''V'' → ''V'' היא העתקה ליניארית. ה''ספקטרום'' של ''T'', המסומן σ<sub>''T''</sub>, הוא ה[[מולטי קבוצה]] (קבוצה עם חזרות) של [[שורש של מספר|שורשי]] של [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]] של ''T''. לכן, כל האלמנטים של הספקטרום הם בדיוק הערכים העצמיים של ''T'', והריבוי של ערך עצמי ''λ'' בספקטרום שווה למימד של [[מרחב עצמי|המרחב העצמי]] של ''T'' עבור ''λ'' (הנקרא גם [[ריבוי אלגברי|הריבוי האלגברי]] של ''λ'').

כעת, נקבע [[בסיס (אלגברה)|בסיס]] ''B'' של ''V'' מעל ''K'' ונניח ש-''M'' ∈ Mat<sub>''K''&#x200A;</sub>(''V'') היא מטריצה. נגדיר את ההעתקה הליניארית ''T'' : ''V'' → ''V'' איבר-איבר לפי ''Tx'' = ''Mx'', כאשר בצד ימין ה-''x'' הוא וקטור עמודה ו-''M'' פועלת על ''x'' לפי [[כפל מטריצות]]. כעת נאמר ש- ''x'' ∈ ''V'' הוא [[וקטור עצמי]] של ''M'' אם ''x'' הוא וקטור עצמי של ''T''. בדומה, λ ∈ ''K'' הוא ערך עצמי של ''M'' אם הוא ערך עצמי של ''T'', עם ריבוי אלגברי זהה, והספקטרום של ''M'', המסומן σ<sub>''M''</sub>, היא המולטי-קבוצה של כל הערכים העצמיים הללו.

== מושגים קשורים ==
[[פירוק עצמי|הפירוק העצמי]] (או פירוק ספקטרלי) של [[מטריצה לכסינה]] הוא [[פירוק לגורמים|פירוק]] של מטריצה אלכסונית לצורה קנונית ספציפית שֶׁבּוֹ המטריצה מיוצגת על ידי הערכים העצמיים והווקטורים העצמיים שלה.

[[רדיוס ספקטרלי|הרדיוס הספקטרלי]] של [[מטריצה ריבועית]] הוא הערך העצמי המקסימלי בערך מוחלט. ב[[תורת הספקטרלים]], הרדיוס הספקטרלי של [[אופרטור ליניארי חסום]] הוא [[אינפימום וסופרמום|הסופרמום]] של הערכים המוחלטים של הערכים בספקטרום של האופרטור.

==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:מטריצות]]