הצגת המקור של הדף "סריג (מבנה סדור)"

ב[[תורת הקבוצות]], '''סריג''' הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] עם [[יחס סדר חלקי]], שבו לכל שני איברים <math>a ,b</math> יש [[אינפימום]] ו[[סופרמום]]. פירושו של דבר שיש איבר גדול ביותר מבין כל אלה המקיימים <math>x \leq a,b</math>, ואיבר קטן ביותר מבין כל אלה המקיימים <math>a,b \leq x</math>. 

בצורה זו מתקבלות שתי [[פעולה בינארית|פעולות בינאריות]] על איברי הקבוצה הסדורה: 
* פעולת המצרף (join) שמחזירה לכל זוג איברים את הסופרמום של שניהם. פעולה זו מסומנת <math>a \vee b</math>.
* פעולת המפגש (meet) שמחזירה לכל זוג איברים את האינפימום של שניהם. פעולה זו מסומנת <math>a \wedge b</math>.

אחת הדוגמאות הבסיסיות לסריג הוא אוסף תת-הקבוצות של קבוצה X, עם פעולות ה[[איחוד (תורת הקבוצות)|איחוד]] וה[[חיתוך (תורת הקבוצות)|חיתוך]] כמצרף ומפגש, בהתאמה. גם אוסף תת-הקבוצות הסופיות הוא סריג. כל [[יחס סדר מלא]] הוא סריג כי בו המצרף של שני איברים הוא הגדול מביניהם, והמפגש של שני איברים הוא הקטן מביניהם. 
__תוכן__
== סריגים שלמים ==
בסריג אפשר להגדיר מצרף ומפגש של כל [[קבוצה סופית]]. אם לכל קבוצה יש [[אינפימום וסופרמום]] הסריג נקרא '''שלם'''. כל סריג שלם הוא '''חסום''': יש בו איבר קטן ביותר (הסופרמום של [[הקבוצה הריקה]]), ואיבר גדול ביותר (האינפימום שלה). סריג תת-הקבוצות של X הוא סריג שלם; לא כל [[אלגברה בוליאנית (מבנה אלגברי)|אלגברה בוליאנית]] היא שלמה. הסריג שמגדיר יחס סדר מלא הוא שלם, [[אם ורק אם]] הסדר וההפכי לו שניהם [[יחס סדר טוב|יחסי סדר טובים]].

== סריגים למחצה ==

אם לכל שני איברים קיים מצרף, אבל לא בהכרח מפגש, הקבוצה מכונה '''סריג-למחצה עליון'''. באופן דומה, אם לכל זוג איברים קיים מפגש, אבל לא בהכרח מצרף, הקבוצה מכונה '''סריג-למחצה תחתון'''. היפוך של יחס הסדר מחליף בין שני טיפוסי הסריגים-למחצה.

=== הגדרה אלגברית ===

פעולת המצרף מקיימת שלוש תכונות אלגבריות חשובות: היא [[אסוציאטיביות|אסוציאטיבית]] (<math>(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)</math>), [[קומוטטיביות|קומוטטיבית]] (<math>a \vee b = b \vee a</math>), ואידמפוטנטית (<math>a \vee a = a</math>). מאידך, בכל קבוצה עם [[פעולה בינארית]] <math>\bullet</math> המקיימת את שלוש התכונות האלה, אפשר להגדיר יחס סדר (<math>a \leq b</math> אם ורק אם <math>a \bullet b = a</math>), שביחס אליו <math>a \bullet b</math> הוא המצרף של a ו-b. לכן יש התאמה מלאה בין סריגים-למחצה לבין קבוצות עם פעולה אסוציאטיבית, קומוטטיבית ואידמפוטנטית. לדוגמה, פעולת החיתוך של קבוצות <math>A \bullet B = A \cap B</math> היא אסוציאטיבית, קומוטטיבית ו[[אידמפוטנט]]ית; ויחס הסדר שהיא מגדירה, <math>A \leq B</math> אם ורק אם <math>A \cap B = A</math>, אינו אלא יחס ההכלה הרגיל.

באופן דומה לזה, יש התאמה מלאה בין סריגים לבין [[אלגברה בוליאנית|אלגברות בוליאניות]].

== סריגים מודולריים ==

בכל סריג, אם <math>a \leq b</math>, אז לכל c מתקיים <math>a \vee (c \wedge b) \leq (a \vee c) \wedge b</math>. אם זהו תמיד שוויון, הסריג נקרא '''מודולרי'''. המודולריות משותפת לסריגים חשובים רבים, כגון סריג תת-החבורות הנורמליות של [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]], או סריג תת-המודולים של [[מודול (מבנה אלגברי)|מודול]]. 

אומרים שאיבר a בקבוצה סדורה מכסה את האיבר b, אם <math>b<a</math>, ולא קיים <math>b<x<a</math>. אם המצרף עם x שומר על היחס "מכסה או שווה" (ובאופן שקול: אם <math>a\vee b</math> מכסה את b כל אימת ש-a מכסה את <math>a \wedge b</math>), אז הסריג נקרא '''מודולרי-למחצה עליון'''. אם המפגש עם x שומר על היחס "מכסה או שווה", אז הסריג הוא '''מודולרי-למחצה תחתון'''. כל סריג מודולרי הוא גם מודולרי למחצה עליון ותחתון. ולהפך: אם אין בסריג שרשראות אינסופיות, והוא מודולרי-למחצה עליון ותחתון, אז הוא מודולרי.

כאשר אין בסריג שרשראות אינסופיות, מן המודולריות למחצה (מאחד הטיפוסים) נובע שכל השרשראות המקסימליות מ-a ל-b הן באותו אורך. אם <math>a\leq b</math>, אפשר להגדיר את המרחק <math>d(a,b)</math> כארכה של השרשרת הקצרה ביותר מ-a ל-b. סריג הוא מודולרי-למחצה עליון, אם ורק אם <math>d(a\wedge b,a) \geq d(b,a\vee b)</math> לכל a ו-b; ומודולרי אם ורק אם <math>d(a\wedge b,a) = d(b,a\vee b)</math> לכל a ו-b.

== ראו גם ==

* [[סריג חופשי]]

== לקריאה נוספת ==
{{ltr|
* Steven Roman, 2008. '''Lattices and Ordered Sets'''.
}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{MathWorld}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007558164405171|תיאוריית הסריג}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:קבוצות סדורות]]