הצגת המקור של הדף "על-מישור"

{{חומר רקע|
*[[מרחב וקטורי]]|185px}}
[[קובץ:Intersecting planes.svg|185px|ממוזער|זוג מישורים נחתכים. המישור הדו-ממדי הוא העל-מישור של המרחב התלת-ממדי]]

ב[[מתמטיקה]], ובפרט ב[[גאומטריה]], '''על-מישור''' (נקרא גם '''היפר-מישור''') הוא הרחבה של מושג ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]] 
ל[[מרחב (מתמטיקה)|מרחבים]] גאומטריים מכל [[ממד (מתמטיקה)|ממד]] שהוא. על-מישורים יכולים להיות תתי-מרחבים של [[מרחב וקטורי|מרחבים וקטוריים]], [[מרחב אוקלידי|מרחבים אוקלידיים]], [[מרחב אפיני|מרחבים אפיניים]], [[מרחב פרויקטיבי|מרחבים פרויקטיביים]] ועוד. על-מישורים הם תמיד ביחס למרחב שבו הם נמצאים ועל כן תכונת העל-מישוריות היא תכונה יחסית.

בהכללה, על-מישור הוא תת-מרחב שה{{קישור שפה|אנגלית|Codimension|קו-ממד}} שלו הוא 1.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/Hyperplane.html|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Hyperplane|אתר=mathworld.wolfram.com|שפה=en|תאריך_וידוא=2024-12-20}}</ref> בשל כך, עבור מרחבים מממד סופי <math>n</math>, על-מישור במרחב הוא כל תת-מרחב מממד <math>n-1</math>. לדוגמה, עבור ה[[ישר]] החד-ממדי העל-מישורים הם ה[[נקודה (גאומטריה)|נקודות]]; עבור ה[[מישור (גאומטריה)|מישור]] הדו-ממדי העל-מישורים הם ה[[ישר]]ים; ב[[מרחב תלת-ממדי|מרחב התלת-ממדי]] העל-מישורים הם המישורים.

אחת התכונות המרכזיות של על-מישורים היא שהם חוצים את המרחב לשני [[חצי-מרחב|חצאי-מרחבים]]. עובדה זו משמשת לניסוח משפטי הפרדה כמו [[משפט ההפרדה העל-מישורית]] {{אנ|Hyperplane_separation_theorem}}, [[משפט סטון-טוקי]] {{אנ|Ham_sandwich_theorem}} ו[[משפט האן-בנך]].

בתחום [[למידת מכונה|למידת המכונה]], על-מישורים משמשים כבסיס לאלגוריתם ה[[סיווג (סטטיסטיקה)|סיווג]] "[[מכונת וקטורים תומכים]]" שמאפשר סיווג של נתונים במרחב אוקלידי כלשהו.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.geeksforgeeks.org/support-vector-machine-algorithm/|כותרת=Support Vector Machine (SVM) Algorithm|אתר=GeeksforGeeks|תאריך=2021-01-20|שפה=en-US|תאריך_וידוא=2024-12-20}}</ref>

== הגדרה ==
ההגדרה של על-מישור משתנה בהתאם לסוג המרחב הגאומטרי שבו עוסקים.

=== מרחב וקטורי ===
בהינתן [[מרחב וקטורי]] <math>V</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> (לרוב <math>\mathbb{F}</math> הוא [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] <math>\mathbb{R}</math>) ותת-מרחב כלשהו <math>W\subseteq V</math>, <math>W</math> ייקרא '''על-מישור של <math>V</math>''' [[אם ורק אם]] הקו-ממד שלו ביחס ל-<math>V</math> הוא 1. כלומר, <math>W</math> הוא על-מישור אם ורק אם <math>\operatorname{dim}(V/W)=1</math> כאשר <math>V/W</math> הוא [[מרחב מנה (אלגברה ליניארית)|מרחב המנה]] של <math>W</math> ביחס ל-'''<math>V</math>'''.

מהגדרה זו ניתן לראות שאם <math>W</math> הוא תת-מרחב של מרחב <math>V</math> מממד סופי <math>n</math>, אז <math>W</math> הוא על-מישור [[אם ורק אם]] <math>W</math> מממד <math>n-1</math>.

=== מרחב אוקלידי ===
במקרה שבו <math>V=\mathbb{R}^n</math> הוא מרחב אוקלידי עם ה[[מכפלה פנימית|מכפלה הפנימית]] הסטנדרטית, ההגדרה לעיל מתלכדת עם הגדרה באמצעות [[וקטור נורמלי|נורמל]]:

תת-מרחב <math>P\subseteq \mathbb{R}^n</math> יקרא על-מישור של <math>\mathbb{R}^n</math> אם ורק אם קיים וקטור <math>v\in \mathbb{R}^n</math> כך ש-<math>P = \left\{u\in \mathbb{R}^n\mid u\cdot v=0\right\}</math>. כלומר, קיים וקטור כלשהו כך ש-<math>P</math> הוא מרחב כל הווקטורים המאונכים לו. ניתן להוכיח כי וקטור <math>v</math> זה הוא יחיד [[עד כדי (מתמטיקה)|עד כדי]] הכפלה בסקלר שונה מאפס.

אם מתייחסים למרחב האוקלידי כמרחב אפיני ביחס לעצמו על ידי זיהוי כל וקטור גם כנקודה, ניתן להרחיב אף יותר את ההגדרה של על-מישור ולהכיל בתוכה גם [[הזזה (גאומטריה)|הזזות]]. במקרה זה, על מישור יהיה קבוצה מהצורה <math>P=\left\{u\in \mathbb{R}^n\mid u\cdot v = c\right\}</math> כאשר <math>v\in \mathbb{R}^n</math> ו-<math>c\in \mathbb{R}</math> קבועים. ההשוואה לקבוע כלשהו <math>c</math> במקום ל-0 מסיטה את העל-מישור.

=== מרחב הילברט ===
ניתן להרחיב את ההגדרה לעיל של על-מישור במרחב האוקלידי לכל [[מרחב הילברט]] באשר הוא. בהינתן מרחב הילבט <math>\mathcal{H}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם המכפלה הפנימית <math>\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle</math>, תת-מרחב <math>\mathcal{H}_1\subseteq \mathcal{H}</math> ייקרא '''על-מישור ב-<math>\mathcal{H}</math>''' אם ורק אם קיים [[פונקציונל]] <math>\varphi \in \mathcal{H}^*</math> כך ש-<math>\mathcal{H}_1=\left\{u\in \mathcal{H}\mid \varphi(u) = 0\right\} </math>.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Hilbert_space|כותרת=Hilbert space - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2024-12-20}}</ref>

אם <math>\mathcal{H}_1</math> הוא תת-מרחב [[קבוצה  סגורה|סגור]]  אז ניתן להראות כי <math>\varphi</math> הוא [[פונקציה רציפה (טופולוגיה)|רציף]] ולכן בזכות [[משפט ההצגה של ריס]] קיים וקטור <math>u'\in \mathcal{H} </math> כך ש-<math>\varphi(x)=\left\langle u, x\right\rangle </math> לכל <math>x\in \mathcal{H} </math>. כלומר, ההגדרה של על-מישור עבור מרחבי הילברט מתלכדת עם ההגדרה של על-מישור למרחבים אוקלידים ו-<math>\mathcal{H}_1</math> הוא קבוצת כל הווקטורים המאונכים ל-<math>u'</math>.

כאמור, <math>u'</math> יחיד עד כדי הכפלה בסקלר. נהוג לנרמל את <math>u'</math> ביחס ל[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] המושרית של המרחב ולהגדיר <math>\hat{n}:=\frac{u'}{\|u'\|}</math>. <math>\hat{n}</math> הוא ה'''נורמל של <math>\mathcal{H}_1</math>'''. ניתן להוכיח כי <math>\hat{n}</math> יחיד עד כדי הכפלה במספר מ[[מעגל היחידה|מעגל היחידה המרוכב]]. במקרה שבו המרחב <math>\mathcal{H}</math> הוא מעל [[שדה המספרים הממשיים|שדה הממשיים]] <math>\mathbb{R} </math>, <math>\hat{n}</math> יחיד עד כדי סימן.

במקרים רבים, הביטוי היפר-מישור בהקשר של מרחבי הילברט כולל הנחת [[קבוצה סגורה|סגירות]].

גם עבור מרחבי הילברט ניתן להתייחס אליהם כמרחבים אפינים ביחס לעצמם כדי לכלול הזזות בהגדרת העל-מישור.

=== מרחב אפיני ===
[[קובץ:Affine subspace.svg|ממוזער|המחשה של על-מישור אשר מוסט מראשית הצירים באמצעות הוספת וקטור. במרחבים אפיניים ניתן להסיט בצורה כזאת כל על-מישור מראשית הצירים.]]
בהינתן מרחב אפיני <math>(A,\vec{A})</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math>, קבוצה <math>B\subseteq A</math> תקרא '''על-מישור של <math>A</math>''' אם ורק אם היא מהצורה <math>b+\vec{B}</math> כאשר <math>b\in A</math> היא נקודה כלשהי ו-<math>\vec{B}</math> הוא על-מישור של <math>\vec{A}</math> במונחים של מרחבים וקטוריים כפי שהוגדרו לעיל. כלומר, במרחב האפיני העל-מישור האפיני הוא בעצם על-מישור וקטורי ביחס לנקודה כלשהי <math>b</math> שמתפקדת כראשית הצירים.

במקרה שבו המרחב האפיני הוא מממד סופי <math>n</math>, ניתן לייצג כל על-מישור כ[[משוואה ליניארית]] יחידה על ה[[קואורדינטות אפיניות|קואורדינטות האפיניות]] של הנקודות המרחב. כלומר, אם <math>A=\mathbb{A}^n</math> ו-<math>B\subseteq A</math>, אז <math>B</math> הוא על-מישור ב-'''<math>A</math>''' אם ורק אם קיימים קבועים <math>a_1,\dots,a_n,b\in \mathbb{F}</math> כך ש:

<math>B=\left\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{A}^n\mid a_1x_1+\dots+a_nx_n=b\right\}</math><ref>{{קישור כללי|כתובת=https://www.geeksforgeeks.org/hyperplane-subspace-and-halfspace/|כותרת=Hyperplane, Subspace and Halfspace {{!}} Definition, Example & Properties|אתר=GeeksforGeeks|תאריך=2020-05-21|שפה=en-US|תאריך_וידוא=2024-12-20}}</ref>

במקרה שבו <math>b=0</math> העל-מישור עובר דרך ראשית הצירים כפי שנקבעה במערכת האפינית שלפיה נלקחו הקואורדינטות האפיניות.

=== מרחב פרויקטיבי ===
בהינתן מרחב וקטורי <math>V</math> והמרחב הפרויקטיבי המושרה ממנו <math>\mathbb{P}(V)</math>, תת-מרחב <math>\mathcal{P}\subseteq \mathbb{P}(V)</math> יקרא על-מישור אם ורק אם קיימת נקודה ב-<math>\mathbb{P}(V)</math> שאינה ב-<math>\mathcal{P}</math>, ושהוספה של כל נקודה כזו ל-<math>\mathcal{P}</math> תאפשר לפרוס את כל המרחב <math>\mathbb{P}(V)</math>. ניתן להוכיח כי אם <math>W\subseteq V</math> הוא על-מישור ביחס ל-<math>V</math> אז בהכרח <math>\mathbb{P}(W)</math> הוא על-מישור ביחס <math>\mathbb{P}(V)</math>.

במקרה שבו המרחב הפרויקטיבי <math>\mathbb{P}(V)</math> הוא מממד סופי <math>n</math>, ניתן לייצג כל על-מישור כמשוואה ליניארית הומוגנית על ה[[קואורדינטות הומוגניות|קואורדינטות ההומוגניות]] שלה. כלומר, אם <math>\mathbb{P}(V)=\mathbb{P}^n</math> ו-<math>\mathcal{P}\subseteq \mathbb{P}(V)</math>, אז <math>\mathcal{P}</math> הוא על-מישור ב-<math>\mathbb{P}(V)</math> אם ורק אם קיימים קבועים <math>a_1,\dots,a_n,a_{n+1}\in \mathbb{F}</math> כך ש:

<math>\mathcal{P}=\left\{[x_1:\dots:x_{n+1}]\in\mathbb{P}^n\mid a_1x_1+\dots+a_{n+1}x_{n+1}=0\right\}</math>

== תכונות ==
=== על-מישורים מקבילים ===
במרחב אפיני <math>(A,\vec{A})</math> זוג על-מישורים <math>B_1,B_2\subseteq A</math> ייקראו '''על-מישורים מקבילים''' אם ורק אם החיתוך שלהם [[הקבוצה הריקה|ריק]], כלומר <math>B_1\cap B_2=\emptyset</math>. נהוג לסמן זוג על-מישורים מקבילים בסימון <math>B_1\parallel B_2</math>. ניתן להוכיח שיחס ההקבלה <math>\parallel</math> הוא [[יחס שקילות]] על כל העל-מישורים ב-<math>A</math>.

ניתן להוכיח כי זוג על-מישורים הם מקבילים אם ורק אם כל אחד מהם נוצר מהשני על ידי הזזה. כלומר, <math>B_1</math> ו-<math>B_2</math> הם על-מישורים מקבילים אם ורק אם קיים וקטור <math>\vec{v}\in\vec{A}</math> כך ש-<math>B_2=T_v(B_1)</math> כאשר <math>T_v:A\to A</math> הוא [[אופרטור]] ההזה <math>x \mapsto x+v</math>.

בנוסף, במרחבים אפיניים מתקיימת [[אקסיומת המקבילים]] בעבור על-מישורים: בהינתן על-מישור <math>B_1\subseteq A</math> ונקודה מחוצה לו <math>b\in A \backslash B_1</math>, אזי קיים על-מישור יחיד <math>B_2\subseteq A</math> כך ש-<math>b\in B_2</math> ו-<math>B_1\parallel B_2</math>.

בהינתן מרחב אפיני מממד סופי <math>\mathbb{A}^n</math>, ניתן להראות כי זוג על-מישורים הם מקבילים אם ורק אם הם משוואות המישור שלהן מופרדות על-ידי קבוע. כלומר, קיימים פרמטרים <math>a_1,\dots,a_n,b_1,b_2\in \mathbb{F}</math> כך שמשוואת העל-מישור של האחד היא <math>a_1x_1+\dots+a_nx_n=b_1</math> ומשוואת העל-מישור של האחר היא <math>a_1x_1+\dots+a_nx_n=b_2</math>.

עבור מרחבים וקטוריים שאינם אפינים אין משמעות לעל-מישורים מקבילים מכיוון שכל על-מישור בהכרח עובר דרך הראשית. הדבר נכון גם למרחבים פרויקטיביים שבהם כל על-מישורים אשר מקבילים במובן האפיני, נפגשים ב[[אינסוף]].

=== מרחק נקודה מעל-מישור ===
בהינתן מרחב אפיני <math>(A,\vec{A})</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> שהמרחב הווקטורי שלו <math>\vec{A}</math> הוא מרחב הילברט ביחס למכפלה פנימית <math>\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle</math>, ניתן להגדיר [[מרחק]] של נקודה מעל-מישור. בהינתן על-מישור <math>B=b+\vec{B}</math> ונקודה כלשהי <math>c\in A</math> ניתן להוכיח כי קיים וקטור יחיד <math>\vec{v}\in \vec{A}</math> כך ש-<math>\vec{v}</math> מאונך לכל הווקטורים ב-<math>\vec{B}</math> וש-<math>c+\vec{v}\in B</math>. האורך <math>\|\vec{v}\|</math>, שהוא האורך של <math>\vec{v}</math> ביחס ל[[נורמה (אנליזה)|נורמה]] המושרית מהמכפלה הפנימית, נקרא '''המרחק של <math>c</math> מ-<math>B</math>.'''

ניתן להוכיח כי המרחק של נקודה מעל-מישור הוא המרחק המינימלי מאותה נקודה לכל נקודה אחרת על העל-מישור. יתרה מכך, אם שני על-מישורים מקבילים אז המרחק מכל נקודה בעל-מישור אחד לעל-המישור השני שווה, מה שמאפשר להגדיר מרחק בין שני על-מישורים מקבילים.

=== חלוקה לחצאי-מרחבים ===
{{הפניה לערך מורחב|חצי מרחב}}
בהינתן מרחב הילברט <math>\mathcal{H}</math> מעל שדה הממשיים <math>\mathbb{R}</math> עם המכפלה הפנימית <math>\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle</math> ועל-מישור <math>\mathcal{P}\subseteq \mathcal{H}</math> עם נורמל <math>\hat{n}</math> ניתן להגדיר את שתי הקבוצות הבאות:

<math>\mathcal{P}^+:=\left\{v\in \mathcal{H}\mid \left\langle v,\hat{n}\right\rangle > 0\right\}</math>

<math>\mathcal{P}^-:=\left\{v\in \mathcal{H}\mid \left\langle v,\hat{n}\right\rangle <0\right\}</math>

הקבוצות <math>\mathcal{P}^+</math> ו-<math>\mathcal{P}^-</math> יקראו '''[[חצי מרחב|חצאי-מרחבים]]''' וכשמם הם מחלקים את המרחב לשניים. כלומר, בהינתן <math>u\in \mathcal{H}</math> כלשהו, ניתן להוכיח כי או ש-<math>u\in \mathcal{P}</math> או ש-<math>u\in \mathcal{P}^+</math> או ש-<math>u\in \mathcal{P}^- </math>.

עבור מרחב אפיני <math>(A,\vec{A})</math> שהמרחב הווקטורי שלו <math>\vec{A}</math> הוא מרחב הילברט, ניתן להשתמש בהגדרות דומות כדי להגדיר חצאי מרחבים. כלומר, בהינתן על-מישור <math>B=b+\vec{B}</math> אפשר להגדיר את שני חצאי המרחבים <math>B^+:= b+\vec{B}^+</math> ו-<math>B^-:= b+\vec{B}^-</math> זאת כאשר <math>\vec{B}^+</math> ו-<math>\vec{B} ^- </math> מוגדרים ביחס לנורמל <math>\hat{n}</math> של <math>\vec{B} </math>.

לחצאי מרחבים חשיבות רבה בניסוחם של מספר משפטי הפרדה.

=== זווית בין על-מישורים ===
{{הפניה לערך מורחב|זווית דו-מישור}}
בהינתן מרחב הילברט <math>\mathcal{H}</math> מעל שדה <math>\mathbb{F}</math> עם המכפלה הפנימית <math>\left \langle \cdot, \cdot \right \rangle</math> וזוג על-מישורים <math>\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2\subseteq \mathcal{H}</math>, מגדירים את '''זווית דו-המישור בין <math>\mathcal{P}_1</math> ל-<math>\mathcal{P}_2</math>''' (נקראת גם '''זווית דיהדרלית''') מוגדרת להיות הזווית בין שני הנורמלים לעל-מישורים <math>\hat{n}_1,\hat{n}_2</math> בהתאמה. באמצעות [[אי-שוויון קושי-שוורץ]] ניתן להגדיר את [[זווית]] זו כך ש <math>\alpha:=\arccos(\left\langle \hat{n}_1,\hat{n}_2\right\rangle)</math> (האורכים של <math>\hat{n}_1,\hat{n}_2</math> הם בהכרח 1).

זווית דו-המישור מאפשרת לזהות עד כמה שני העל-מישורים קרובים זה לזה. כלומר, אם <math>\alpha=0^\circ</math> שני המישורים זהים. באופן דומה, אם <math>\alpha=90^\circ</math> אז שני העל-מישורים מאונכים זה לזה.

== משפטי הפרדה ==
=== משפט ההפרדה העל-מישורית ===
[[קובץ:Separating axis theorem2008.png|ממוזער|המחשה ויזואלית של משפט ההפרדה העל-מישורית]]
משפט ההפרדה העל-מישורית קובע כי בהינתן המרחב האוקלידי <math>\mathbb{R}^n</math> ושתי [[קבוצה קמורה|קבוצות קמורות]] <math>A,B\subseteq \mathbb{R}^n</math> אשר [[קבוצות זרות|זרות]] זו לזו, קיים וקטור <math>v\in \mathbb{R}^n</math> וקבוע <math>c\in \mathbb{R}</math> כך ש:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://healy.econ.ohio-state.edu/kcb/Ec181/Lecture08.pdf|הכותב=Kim C. Border|כותרת=Separation theorems|אתר=Ohio State University|תאריך=2020}}</ref>
* לכל <math>u\in A</math> מתקיים ש-<math>v\cdot u \ge c</math>
* לכל <math>u\in B</math> מתקיים ש-<math>v \cdot u \le c</math>

המשפט נקרא משפט ההפרדה העל-מישורית מכיוון שניתן להסתכל על העל-מישור <math>P=\left\{u\in \mathbb{R}^n\mid u\cdot v = c\right\}</math> ולהבחין כי על-מישור זה מפריד את שתי הקבוצות לשני חצאי-מרחבים שונים, <math>A</math> בחצי המרחב הראשון ו-<math>B</math> בחצי המרחב השני.

משפט זה מהווה הבסיס לאלגוריתם האימון של מכונות וקטורים תומכים.

=== משפט סטון-טוקי ===
משפט סטון-טוקי (נקרא גם "משפט כריך הבשר") קובע כי בהינתן המרחב האוקלידי <math>\mathbb{R}^n</math> מצויד ב[[מידת לבג]] וקבוצות <math>A_1,\dots,A_n\subseteq \mathbb{R}^n</math> שכולן מ[[מידה (מתמטיקה)|מידה]] סופית, אזי קיים על-מישור <math>H\subseteq \mathbb{R}^n</math> (לאו דווקא העובר דרך הראשית), אשר חוצה כל אחת מהקבוצות <math>A_i</math> לשני חלקים שווי-מידה.<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://mathworld.wolfram.com/HamSandwichTheorem.html|הכותב=Eric W. Weisstein|כותרת=Ham Sandwich Theorem|אתר=mathworld.wolfram.com|שפה=en|תאריך_וידוא=2024-12-20}}</ref>

המשפט ניתן להוכחה באמצעות [[משפט בורסוק-אולם]].

=== משפט העל-מישור התומך ===
משפט העל-מישור התומך קובע כי בהינתן המרחב האוקלידי <math>\mathbb{R}^n</math> וקבוצה קמורה <math>S\subseteq \mathbb{R}^n</math>, לכל נקודה <math>x_0</math> על ה[[שפה (טופולוגיה)|שפה]] של <math>S</math>, קיים על-מישור <math>P\subseteq \mathbb{R}^n</math> כך ש:<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Supporting_hyperplane|כותרת=Supporting hyperplane - Encyclopedia of Mathematics|אתר=encyclopediaofmath.org|תאריך_וידוא=2024-12-20}}</ref>
* <math>x_0\in P</math>
* <math>S</math> מוכלת כולה באחד מחצאי המרחבים הנוצרים על-ידי <math>P</math>

מישור <math>P</math> מסוג זה נקרא '''מישור תומך של <math>S</math> בנקודה <math>x_0</math>.'''

מסקנה מיידית של משפט זה היא שכל קבוצה קמורה <math>S</math> שווה ל[[חיתוך (מתמטיקה)|חיתוך]] כל חצאי-המרחבים הנוצרים על-ידי העל-מישורים התומכים שלה.

==ראו גם==
* [[על משטח]]
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

== הערות שוליים ==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}
[[קטגוריה:גאומטריה]]
[[קטגוריה:גאומטריה אלגברית]]