הצגת המקור של הדף "על-מכפלה"

ב[[תורת המודלים]] וב[[אלגברה מופשטת]], '''על-מכפלה''' היא בניה בסיסית של [[מודל (לוגיקה מתמטית)|מודל]] חדש מתוך אוסף של מודלים בסיסיים בעלי אותה [[שפה פורמלית|שפה]]. כאשר כל המודלים הבסיסיים נלקחים להיות זהים, הבנייה נקראת '''על-חזקה'''. הבנייה נעשית על ידי לקיחת [[מכפלה קרטזית|המכפלה הקרטזית]] של המודלים וצמצומה לפי [[על מסנן]]. 

על-מכפלות משמרות את ה[[תורה (לוגיקה מתמטית)|תורה]] [[לוגיקה מסדר ראשון|מסדר ראשון]] של הרכיבים שלהן (ראו בהמשך), ולכן מאפשרות לבנות מבנים עשירים ולא סטנדרטיים מתוך מבנים פשוטים. למשל, על-מכפלה של שדות תספק שדה חדש. בפרט, אם ניקח על חזקה של [[מספר ממשי|השדה הממשי]] נקבל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]], אך השדה החדש יכיל גם איברים שהם גדולים יותר מכל [[מספר טבעי]] (זה אפשרי כיוון ש[[שדה ארכימדי|ארכימדיות]] איננה תכונה מסדר ראשון). 

== הגדרה ==
נניח כי <math>\{ M_i | i \in S\}</math> הם אוסף של מודלים בשפה <math>\mathcal{L}</math>, ו-<math>U</math> הוא [[על מסנן]] על <math>S</math>. נגדיר [[יחס שקילות]] בין איברים של המכפלה הקרטזית <math>\prod_{i \in S} M_i</math> - <math>f \equiv g \iff \{i \in S | f(i) = g(i)\} \in U</math>. ההיגיון מאחורי ההגדרה הזו הוא שאנחנו חושבים על הקבוצות בעל המסנן כקבוצות גדולות, והקבוצות שמחוצה לו כקבוצות קטנות או זניחות, לכן שני איברים במכפלה הקרטזית שווים אם הם שווים [[כמעט בכל מקום]] במובן של על המסנן. איברי המודל של על-המכפלה יהיו מחלקות השקילות תחת יחס השקילות הזה. נסמן את מחלקת השקילות של <math>f</math> ב-<math>[f]</math>. היחסים והפונקציות יוגדרו באופן דומה:
: אם <math>R</math> הוא שם של יחס <math>n</math>-מקומי בשפה אז נגדיר: <math>R([f_1],\dots,[f_n]) \iff \{i\in S | R(f_1(i),\dots ,f_n(i))\} \in U</math>
: אם <math>F</math> הוא שם של פונקציה <math>n</math>-מקומית בשפה אז נגדיר: <math>F([f_1],\dots,[f_n]) = [g], g(i) = F(f_1(i),\dots, f_n(i)) </math>.
כיוון ש-<math>U</math> הוא מסנן, היחסים והפונקציות [[מוגדר היטב|מוגדרים היטב]] ולא תלויים בבחירת הנציג של מחלקת השקילות. 

את על המכפלה מסמנים: <math>\prod_{i \in S} M_i/U</math>

נעיר כי ניתן לבצע את הבניה באופן מלא גם כאשר <math>U</math> הוא רק מסנן, ולא על מסנן, אך במקרה הזה משפט Łoś לא יתקיים.

== משפט Łoś ==
המשפט הבסיסי הנוגע לעל-מכפלות ועל חזקות טוען כי כל הנוסחאות מסדר ראשון שמתקיימות בחלק גדול ממרכיבי המכפלה, מתקיימות גם בעל המכפלה. באופן פורמלי: 
:אם <math>\varphi(x_1,\dots x_n)</math> נוסחה בשפה <math>\mathcal{L}</math> אז: 
:<math>\prod_{i \in S} M_i/U \models \varphi([f_1],\dots,[f_n]) \iff \{i\in S | M_i\models \varphi(f_1(i),\dots,f_n(i))\} \in U</math>.

בפרט כל משפט (נוסחה בה אין משתנים חופשיים) שמתקיים בכל הרכיבים יתקיים גם בעל המכפלה.

[[הוכחה|הוכחת]] המשפט נעשית ב[[אינדוקציה מתמטית|אינדוקציה]] על אורך המשפט, כאשר לשם הפשטות מתירים רק את [[כמת (לוגיקה)|כמת]] הקיום ואת ה[[קשר לוגי|קשרים הלוגיים]] "וגם" ו"שלילה". הנוסחאות האטומיות מהוות את בסיס האינדוקציה - שם המשפט נכון מההגדרה.
* אם <math>\varphi = \psi_1 \land \psi_2</math> אז כיוון שהמשפט נכון בכל אחת מתת הנוסחאות <math>\psi_1,\psi_2</math>, אוסף הנקודות ב-<math>S</math> עליהן הנוסחה מתקיימת היא חיתוך שני אוספי הנקודות שבהן תת-הנוסחאות מתקיימות, וכיוון ש-<math>U</math> מסנן - היא שייכת ל-<math>U</math>.
* אם <math>\varphi([f_1], \dots, [f_n]) = \exists y \psi (y,[f_1], \dots, [f_n])</math> אז מצד אחד - אם על המכפלה מקיימת את <math>\varphi</math>, אז קיים [g] עבורו <math>\models \psi([g],[f_1],\dots,[f_n])</math> ולכן מהנחת האינדוקציה אוסף האינדקסים בהם <math>M_i\models \psi(g(i),f_1(i),\dots f_n(i))</math> הוא בעל מסנן. 
:מצד שני, על ידי שימוש ב[[אקסיומת הבחירה]] נוכל לבחור את <math>g</math> קואורדינטה-קואורדינטה (כאשר בקואורדינטות בהן הנוסחה לא מתקיימת נבחר את הערך באופן שרירותי).
* המעבר דרך קשר השלילה משתמש בכך ש-<math>U</math> הוא על-מסנן.

במקרה של על-חזקה, נובע מהמשפט כי ההעתקה שמתאימה לכל איבר <math>x</math> ב-<math>M</math> את מחלקת השקילות של הפונקציה הקבועה <math>f_x(i) = x</math> היא [[שיכון אלמנטרי]] של M בתוך על המכפלה.

==משפט קיזלר-שלח==

מודלים <math>A,B</math> הם שקולים אלמנטרית [[אם ורק אם]] יש להם על-חזקות איזומורפיות <math>A^I/\mathfrak{F}\cong B^J/\mathfrak{G}</math>, מעל קבוצות אינדקסים <math>I,J</math> ועל-מסננים <math>\mathfrak{F},\mathfrak{G}</math> מתאימים.
כמסקנה שימושית, ניתן לאפיין מחלקות אלמנטריות באופן הבא: מחלקה היא אלמנטרית אם ורק אם היא סגורה תחת איזומורפיזמים ועל-מכפלות והמחלקה המשלימה לה סגורה תחת על-חזקות; אם ורק אם היא ומשלימתה סגורות תחת איזומורפיזמים ועל-מכפלות.

== דוגמאות ==
* במקרה שבו <math>U</math> הוא על מסנן ראשי (כלומר על מסנן שמכיל את יחידון <math>\{i\}</math>) אז על המכפלה איזומורפית לרכיב <math>M_i</math>.
* כאשר העל מסנן מקיים תכונות נוספות (למשל סיגמא-שלמות), ניתן להרחיב את התוצאה של המשפט גם ללוגיקה בה אנו מתירים כמתים או קשרים על [[קבוצה אינסופית|קבוצות אינסופיות]] (במקרה הזה -  <math>\mathcal{L}_{\omega_1,\omega_1}</math>). תכונה זו משמשת רבות ב[[תורת הקבוצות]], בעיקר בעיסוק ב[[מונה גדול|מונים גדולים]], שם אנחנו רוצים לקבל מודל [[אקסיומת היסוד#אין_סדרת_שייכות_יורדת_אינסופית|מבוסס היטב]] של תורת הקבוצות (כלומר מודל בו אין [[סדרה (מתמטיקה)|סדרה אינסופית]] יורדת של שייכות: <math>\dots \in x_3 \in x_2 \in x_1</math>). תכונה זו לא ניתן לבטא בלוגיקה רגילה מסדר ראשון, אבל ניתן לבטא בשפות מורחבות שמתירות נוסחאות אינסופיות.

== שימושים אלגבריים ==

נניח ש-<math>U</math> הוא על מסנן על הטבעיים שמרחיב את המסנן הקו-סופי. אם ניקח על-חזקה של השדה הממשי לפי על המסנן <math>U</math> נקבל שדה שמכיל את [[הישר הממשי]] הרגיל ובו, למשל, יש איבר שגדול יותר מכל המספרים הממשיים: הפונקציה <math>f(i) = i</math> נמצאת מתחת לכל [[פונקציה קבועה]] רק במספר סופי של אינדקסים, ולכן מחלקת השקילות שלה גדולה יותר מהשיכון של כל מספר ממשי בעל-חזקה. על-החזקה עדיין מקיימת את כל התורה מסדר ראשון של הישר הממשי ולכן היא מספקת מודל עבור [[אנליזה לא סטנדרטית]]. 

לפי '''משפט מלצב''', כל [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] משוכנת בעל-מכפלה של תת-החבורות ה[[חבורה נוצרת סופית|נוצרות סופית]] שלה. לכן, אם כל תת-חבורה נוצרת סופית מקיימת תכונה מסוימת, החבורה מקיימת את אותה תכונה. למשל, אם כל תת-חבורה נוצרת סופית [[חבורה סדורה|ניתנת לסידור]], אז החבורה כולה ניתנת לסידור. אם כל תת-חבורה נוצרת סופית היא [[חבורה ליניארית|ליניארית]] מדרגה קבועה, כך גם החבורה כולה (מכיוון שהבניה של על-מכפלות מתחלפת עם מטריצות: על-המכפלה של חוגי מטריצות מממד קבוע היא [[חוג מטריצות|חוג המטריצות]] מעל על-המכפלה של חוגי הבסיס).

== ראו גם ==
* [[אנליזה לא סטנדרטית]]
* [[מונה מדיד]]
==קישורים חיצוניים==
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:ערכים שבהם תבנית בריטניקה אינה מתאימה]]
[[קטגוריה:לוגיקה מתמטית]]