הצגת המקור של הדף "עץ אהרונשיין"

ב[[תורת הקבוצות]], '''עץ אהרנשיין''' הוא [[עץ (תורת הגרפים)|עץ]] שכל שלביו וכל ענפיו בני מניה לכל היותר, ועם זאת הוא אינו בן מניה בעצמו. קיומו של עץ כזה מפריך את הכללת ה[[הלמה של קניג|למה של קניג]] עבור [[עוצמה (מתמטיקה)|עצמות]] הגבוהות מ־<math>\aleph_0</math>.

כל [[עץ סוסלין]] הוא עץ אהרונשיין. באופן כללי, לכל [[מונה (מתמטיקה)|מונה]] <math>\kappa</math>, <math>\kappa</math>־עץ אהרונשיין הוא עץ מגובה <math>\kappa</math> כך שכל רמה שלו היא בגודל לכל היותר <math>\kappa</math> וכל ענף הוא בגובה לכל היותר <math>\kappa</math> (ומכאן "עץ אהרונשיין" סתם הוא למעשה <math>\aleph_1</math>־עץ אהרונשיין). העץ קרוי על שם המתמטיקאי הפולני [[נחמן אהרונשיין]] שהראה בנייה שלהם לראשונה בשנת [[1934]].

==קיום עץ אהרונשיין==
מ[[הלמה של קניג]] נובע כי לא קיים <math>\aleph_0</math>־עץ אהרונשיין. קיומו של <math>\aleph_1</math>־עץ אהרונשיין הוכח על ידי נחמן אהרונשיין. טענת קיומו של <math>\aleph_2</math>־עץ אהרונשיין היא [[עצמאות (מתמטיקה)|עצמאית]] — [[השערת הרצף]] גוררת את קיומו של עץ זה, [[ויליאם מיטשל]] ו[[ג'ק סילבר]] הראו ש[[עקביות (לוגיקה)|עקבי]] שלא קיים <math>\aleph_2</math>־עץ אהרונשיין (בהינתן קיום של [[מונה קומפקטי חלש]]).

[[רונלד ינסן]] הוכיח ש[[אקסיומת הבנייה]] גוררת שקיים <math>\kappa</math>־עץ אהרונשיין (ולמעשה <math>\kappa</math>־עץ סוסלין) לכל מונה אינסופי עוקב <math>\kappa</math>. ג'יימס קאמינגס ומת'יו פורמן הוכיחו בשנת [[1998]] באמצעות אקסיומות של מונים גדולים שעקבי שאין <math>\aleph_n</math>־עץ אהרונשיין לכל <math>n</math> הגדול מ־<math>1</math>. אם <math>k</math> הוא קומפקטי חלש אזי לא קיים <math>\kappa</math>־עץ אהרונשיין. בכיוון השני, אם <math>\kappa</math> הוא אי נסיג, ולא קיים <math>\kappa</math>־עץ אהרונשיין, אזי <math>\kappa</math> קומפקטי חלש.

{{קצרמר|מתמטיקה}}
[[קטגוריה:משפטים בתורת הגרפים|אהרונשיין]]
[[קטגוריה:משפטים בתורת הקבוצות|אהרונשיין]]
[[קטגוריה:אינסוף|אהרונשיין]]
[[קטגוריה:בעיות לא כריעות במתמטיקה|אהרונשיין]]