הצגת המקור של הדף "עקום המומנטים"

[[קובץ:Twisted cubic curve.png|250px|ממוזער|שמאל|עקום המומנטים במרחב התלת-ממדי (בירוק). העקום מתקבל כחיתוך של המשטח <math>(t,t^2,s)</math> עם המשטח <math>(t,s,t^3)</math> (הצירים בתמונה נוטים ב-90 מעלות למקובל).]]
ב[[מתמטיקה]], '''עקום המומנטים''' הוא [[עקום אלגברי]] ב[[מרחב אוקלידי|מרחב האוקלידי]] ה-n-ממדי המוגדר כאוסף הנקודות מהצורה <math>(t,t^2,\ldots,t^n)</math> לכל <math>t</math> [[מספר ממשי|ממשי]]. למשל, במישור, עקום המומנטים הוא [[פרבולה]].

כל [[על-מישור]] במרחב חותך את עקום המומנטים בלכל היותר n נקודות (למשל ישר במישור חותך פרבולה בשתי נקודות לכל היותר). תכונה זו שימושית במיוחד ב[[גאומטריה דיסקרטית]] וב[[קומבינטוריקה טופולוגית]]. בענפים אלו משתמשים בעקום המומנטים כדי לקודד מידע גאומטרי-טופולוגי (חיתוך בין גופים מרחביים) ולתרגמו למידע קומבינטורי (מספר נקודות החיתוך).

==תכונות==
על-מישור במרחב ה-n-ממדי מוגדר כקבוצה מהצורה <math>H_{\mathbf{a},d} = \{\mathbf{x} : (\mathbf{a},\mathbf{x})=d \} = \{(x_1\ldots,x_n) : a_1x_1+\ldots a_nx_n = d\}</math>, כאשר <math>\mathbf{a}=(a_1,\ldots,a_n)</math> וקטור כיוון ו-d סקלר קבועים. אם <math>t</math> מספר ממשי כך שעקום המומנטים בנקודה t חותך את העל-מישור <math>H_{\mathbf{a},d}</math> אז מתקיים: <math>a_1t+\ldots+a_nt^n = d</math>. זוהי [[משוואה פולינומית]] ממעלה n ולכן יש לה לכל היותר n פתרונות שונים. מכאן שעקום המומנטים חותך כל על-מישור בלכל היותר n נקודות.

אם החיתוך בין על-מישור לעקום המומנטים מכיל בדיוק n נקודות, אזי הפולינום המתאים [[פולינום ספרבילי|ספרבילי]] (הנגזרת בחיתוך אינה מתאפסת) ועקום המומנטים חוצה בכל נקודת לצד השני של העל-מישור.

עקום המומנטים נותן חסם על מספר החלקים שאפשר לחלק גוף n-ממדי עם n על-מישורים. n על-מישורים חותכים את עקום המומנטים בלכל היותר <math>n^2</math> נקודות, ולכן מחלקים אותו ללכל היותר <math>n^2+1</math> חלקים. בעיה ידועה שואלת האם ניתן לחלק כל גוף עם מסה (שלא בהכרח מפוזרת באופן אחיד בתוכו) במרחב ה-n-ממדי ל-<math>2^n</math> חלקים שווים במסתם באמצעות n על-מישורים. בישר ניתן לעשות זאת באמצעות [[משפט ערך הביניים]]. במישור ניתן באמצעות [[משפט הסנדוויץ' (תורת המידה)|משפט הסנדוויץ']]. ידוע שהדבר אפשרי במרחב התלת-ממדי והשאלה האם זה אפשרי במרחב הארבע ממדי עודנה פתוחה. לכל <math>5\le n</math> הדבר לא אפשרי, כי <math>n^2+1<2^n</math> ולכן כלל לא ניתן לחלק את עקום המומנטים למספיק חלקים.

==ראו גם==
*[[הלמה של גייל]]

[[קטגוריה:עקומים אלגבריים]]
[[קטגוריה:עקומות]]