הצגת המקור של הדף "עקומה"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מושג גאומטרי|אחר=תרשים המשמש באפידמיולוגיה כדי להמחיש התפרצות מחלה|ראו=עקומת מגפה}}
[[קובץ:Parabola.svg|שמאל|ממוזער|200px|פרבולה, דוגמה פשוטה של עקומה]]
ב[[מתמטיקה]], '''עקומה''' היא קו חד־ממדי ו[[רציפות (טופולוגיה)|רציף]]. בצורה אינטואיטיבית, עקומה היא קו ישר שהופעלו עליו פעולות של עיקום ופיתול, מבלי "לקרוע" אותו. עקומות מופיעות ברבים מתחומי המתמטיקה, ובפרט ב[[גאומטריה]], [[אנליזה מתמטית]] ו[[טופולוגיה]].

דוגמאות פשוטות לעקומות הן [[ישר|קו ישר]], [[מעגל]], [[חתכי חרוט]] אחרים, [[גרף פונקציה|גרף]] של פונקציה רציפה וכדומה.

==הגדרה פורמלית==
כאשר באים להגדיר עקומה בצורה פורמלית, הדרך הטובה ביותר לעשות זאת היא באמצעות [[פונקציה]] רציפה שתחומה הוא קטע של [[מספר ממשי|המספרים הממשיים]], וטווחה הוא [[מרחב טופולוגי]] כלשהו. בצורה זו נשמרת התמונה האינטואיטיבית של "הקו הישר שאנו מעקמים ומפתלים", ויחד עם זאת מושג תיאור מדויק של העקומה. מכאן שמבחינה פורמלית, עקומה היא פונקציה.

יהא <math>\ I\subseteq \mathbb{R}</math> [[קטע]] על [[הישר הממשי]]. נקרא לפונקציה <math>\gamma \colon I\to X</math> '''עקומה''' אם <math>X</math> הוא מרחב טופולוגי כלשהו, ו-<math>\gamma</math> היא פונקציה רציפה. בדרך כלל, כאשר משתמשים במונח "עקומה" מניחים ש-<math>X=\mathbb{R}^n</math> הוא [[מרחב אוקלידי|המרחב האוקלידי]] ה-<math>n</math>-ממדי. במקרה זה, למרחב הטופולוגי יש גם מבנה של [[מרחב וקטורי]] ו[[מרחב מטרי]] ואפשר לנתח את העקומה בכלים של [[אנליזה וקטורית]] ו[[גאומטריה דיפרנציאלית]].

===עקומה פשוטה===
אם <math>\gamma</math> [[חד-חד ערכית]] נאמר שהיא '''עקומה פשוטה'''. מבחינה אינטואיטיבית, הכוונה היא שהעקומה לא חותכת את עצמה, לא חוזרת על עצמה, כלומר "אין בה לולאות" וגם אין "התקדמות אחורה", כלומר מצב בו העקומה נעה לאחור על עצמה.

===עקומה רגולרית===

עקומה <math>\gamma (t) = \left( \gamma_1(t),\dots, \gamma_n(t) \right) \in \mathbb{R}^n</math> נקראת רגולרית אם ה[[וקטור משיק|ווקטור המשיק]] לעקומה <math>\dot{\gamma}(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\gamma(t)</math> לא מתאפס באף נקודה. כלומר: <math>\forall t \in I : | \dot{\gamma}(t) | \ne 0</math>. כלומר, העקומה לא "נעצרת" או "חוזרת על עקבותיה".

===עקומה סגורה===
אם <math>I=[a,b]</math>, כלומר הוא קטע סגור וחסום, ואם <math>\gamma(a)=\gamma(b)</math> נאמר שהעקומה '''סגורה''' (שני הקצוות שלה מחוברים). אם היא [[פונקציה חד-חד-ערכית|חד-חד-ערכית]] פרט לקצוות, נאמר שהיא '''פשוטה וסגורה'''. ניתן לראות עקומה כזו כתמונה של [[מעגל היחידה]] במישור. עקומה שכזו מכונה גם "עקומת ז'ורדן", בשל הופעתה ב[[משפט ז'ורדן]].

=== עקומה חלקה למקוטעין ===
עקומה <math>\gamma (t)</math> נקראת '''חלקה למקוטעין''' אם היא רציפה וגזירה ברציפות פרט למספר סופי של נקודות (למשל משולש).

== אורך של עקומה ==

ב[[מרחב מטרי]] <math>(X,d)</math> אורך של עקומה <math>\gamma \colon [a,b] \to X</math> מוגדר על ידי
: <math>\textrm{length}(\gamma) = \ell (\gamma) = \sup \left\{ \sum_{k=0}^{n} d( \gamma(t_k), \gamma ( t_{k+1} ) ) \right\}</math>
כאשר ה[[חסם עליון|סופרמום]] רץ על כל <math>n \in \mathbb{N}</math> ועל כל <math>a=t_0 < t_1 < ... < t_n < t_{n+1} = b</math> חלוקה של הקטע <math>[a,b]</math>. זהו למעשה הסופרמום של אורכי העקומות הפוליגוניות (עקומות המורכבות ממספר סופי של קווים ישרים) המקרבות את העקומה.

אם העקומה <math>\gamma (t)</math> גזירה ברציפות ורגולרית, אפשר לחשב את אורך העקומה לפי הנוסחה הבאה:
:<math>\ell (\gamma)=\int_a^b \| \gamma '(t) \| \,\mathrm{d}t</math>

במקרה שהעקומה נתונה כ[[גרף של פונקציה|גרף]] של [[פונקציה רציפה]] <math>y = f(x)</math> אורך משיק אינפיניטסימלי של קירוב פוליגוני <math>\mathrm{d}\ell</math>, הוא לפי [[משפט פיתגורס]] <math>(\mathrm{d}\ell)^2 = (\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2 </math>, אם הפונקציה [[נגזרת|גזירה]] אזי אפשר לרשום
:<math>\ell = \int_a^b \mathrm{d}\ell = \int_a^b \sqrt{(\mathrm{d}x)^2 + (\mathrm{d}y)^2} = \int_a^b \sqrt{ 1 + \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)^2} \,\mathrm{d}x = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \,\mathrm{d}x </math>
לנוסחה זו אפשר להגיע באופן [[ריגורוזי]] על ידי הצבת הפרמרטריזציה <math>(t, f(t))</math> בנוסחה הכללית.

== פרמטריזציה טבעית ==

ל[[#עקומה רגולרית|עקומה רגולרית]] אפשר להגדיר [[תיאור פרמטרי של עקום|פרמטריזציה]] טבעית שבה [[פרמטר אפיני|הפרמטר האפיני]] <math>t</math> מוחלף באורך העקומה <math>\ell</math>. במקרה זה
:<math>\mathrm{d}\ell =\|\dot{\gamma}(t)\| \,\mathrm{d}t =\|\gamma'(t)\| \,\mathrm{d}t </math>
כאשר
:<math>\ \ell(t) = \int_{t_0}^{t} \| \gamma'(\tau) \| \,\mathrm{d}\tau</math>
הפרמטר <math>\ell(t)</math> נקרא "הפרמטר הטבעי" של עקומה.

אזי מתקיים שהווקטור המשיק הוא תמיד [[מנורמל]], שכן
:<math>\ \left\| \frac{\mathrm{d} \gamma(\ell)}{\mathrm{d}\ell} \right\| = \frac{1}{ \| \dot{\gamma} \| } \left\| \frac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d}t} \right\| = 1</math>

ב[[משוואות פרנה]] ו[[משוואות פרנה-סרה]] משתמשים בעקומות בעלות פרמטריזציה טבעית, וכן גם בהגדרת ה[[אוולוט]].

== ראו גם ==
* [[מבחן הקו האנכי]]
* [[חבורה יסודית]]
* [[עקום אלגברי]]

==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=עקם|ויקימילון 2=עקמה}}
* {{בריטניקה}}
* {{דף שער בספרייה הלאומית|987007538488705171|עקומות}}
* {{MathWorld}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:עקומות|*]]
[[קטגוריה:גאומטריה]]