הצגת המקור של הדף "עקומת בודה"

[[קובץ:Butterworth filter bode plot.png|שמאל|ממוזער|350px|עקומת בודה: עקומת ההגבר (למעלה) ועקומת הפאזה (למטה).]]
'''עקומת בּוֹדֶה''' היא דרך להצגת [[פונקציית תמסורת]] כפונקציה של ה[[תדירות]], כאשר התדירות מוצגת בציר האופקי ב[[סולם לוגריתמי]]. לרוב, פונקציית התמסורת היא [[פונקציה מרוכבת]] ולכן הצגתה מורכבת משתי [[עקומה|עקומות]]: עקומת הגבר ועקומת [[מופע]] (או פאזה), שיחד מרכיבות את תגובת התדר של המערכת. עקומת בודה קרויה על שם המהנדס האמריקאי [[הנדריק וייד בודה]] {{אנג|Hendrik Wade Bode}} שהגה שיטה פשוטה אך מדויקת זו לציור גרפים של הגבר והסטת מופע, כשעבד ב[[מעבדות נוקיה בל|מעבדות בל]] בשנות ה-30.

עקום ההגבר הוא [[גרף של פונקציה|גרף]] של הגבר עוצמת המתח ב[[דציבל]]ים – [[לוגריתם]] ה[[ערך מוחלט|ערך המוחלט]] של פונקציית התמסורת מוכפל ב-20 כפונקציה של התדר בסולם לוגריתמי. ניתן לתאר את הגרף גם כריבוע היחס בין [[משרעת]] מוצא המערכת לבין משרעת הכניסה בדציבלים כתלות בתדירות בסולם לוגריתמי:
:<math>\left|H\left(j \omega \right)\right|= 20\log_{10}{\left|H\left(j \omega \right)\right|}\ [dB]=10\log_{10}{\left|\frac{y\left(t\right)}{x\left(t\right)}\right|^2} \ [dB]</math>

עקום המופע הוא הפרש המופע בין המוצא לכניסה כתלות בתדירות (גם כן בסולם לוגריתמי) והוא לרוב מופיע תחת עקום ההגבר באותו [[קנה מידה]].

עקומת בודה משמשת לתיאור תגובת התדר של [[מסנן (אלקטרוניקה)|מסננים]] ושל מערכות [[משוב]]. מאחר שההגבר מוצג בדציבלים, מחוקי הלוגריתמים נובע שהן עקום ההגבר והן עקום המופע ליניאריים למקוטעין, והשינויים בשיפוע העקומות מתרחשים סביב ה[[קוטב (אנליזה מרוכבת)|קטבים]] וה[[שורש (של פונקציה)|אפסים]] של פונקציית התמסורת. תדרים אלה נקראים '''תדרי ברך''', '''תדרי קיטעון''' או '''תדרי סינון'''. עקומת בודה [[אסימפטוטה|אסימפטוטית]] היא עקומה המשורטטת כליניארית למקוטעין. עקומה המייצגת את תגובת התדר המדויקת נקראת עקומת בודה מתוקנת.

==שרטוט עקומת בודה==
ניתן לכתוב את פונקציית התמסורת של רוב ה[[מערכת ליניארית|מערכות הליניאריות]] בצורה:
:<math> H(s) = A \prod \frac{(s + x_n)^{a_n}}{(s + y_n)^{b_n}} </math>
כאשר <math>s = j \omega</math> הוא המשתנה של [[התמרת לפלס]] (<math>\omega</math> היא ה[[תדירות זוויתית|תדירות הזוויתית]]), <math>x_n</math> ו-<math>y_n</math> הם קבועים המייצגים את האפסים והקטבים בהתאמה, <math>a_n</math> ו-<math>b_n</math> הם [[מספר טבעי|מספרים טבעיים]] ו-<math>A</math> הוא קבוע.

הפעלת לוגריתם על שני אגפי המשוואה נותנת סכום של הקטבים והאפסים:
:<math> \log(H(s)) = \log(A) + \sum a_n \log(s + x_n) - \sum b_n \log(s + y_n) </math>

עקומת ההגבר האסימפטוטית היא כזו שבכל אפס (<math>\omega = x_n</math>) ישנה עלייה בשיפוע של <math>20 a_n</math> דציבל ל[[דקאדה]], ובכל קוטב (<math>\omega = y_n</math>) ישנה ירידה בשיפוע של <math>20 b_n</math> דציבל לדקאדה. ההגבהה של הגרף תלויה ב-<math>A</math> וניתן לחשב אותה על ידי הצבת <math>\omega =0</math> ב-<math>|{H(j \omega)}|</math>.

עקומת ההגבר המתוקנת עוברת <math>3 a_n \mathrm{dB}</math> מעל העקומה האסימפטוטית בכל אפס ו-<math>3 b_n \mathrm{dB}</math> מתחת לעקומה האסימפטוטית בכל קוטב.

עקומת המופע מתחילה מהזווית של A ב[[קואורדינטות קוטביות|הצגה קוטבית]] ב[[המישור המרוכב]]. אם <math>A</math> [[מספר ממשי|ממשי]] וחיובי העקומה המופע מתחילה ב-0 [[מעלה (זווית)|מעלות]] ואם הוא שלילי היא מתחילה מ-180 מעלות. בכל אפס יציב (<math>\omega = x_n, Re(x_n) <0</math>) בעקומת המופע האסימפטוטית ישנה עלייה בשיפוע של <math>45 a_n</math> מעלות ל[[דקאדה]], ובכל קוטב (<math>\omega = y_n, Re(y_n)<0</math>) ישנה ירידה בשיפוע של <math>45 b_n</math> מעלות לדקאדה. עבור קטבים ואפסים בלתי יציבים, השינוי הוא הפוך. השינוי בשיפוע מתחיל דקאדה אחת לפני הקוטב או האפס ומסתיים דקאדה אחת אחריו, כך שכל שינוי הוא של 90 מעלות.

==ראו גם==
* [[עקום נייקוויסט]]

{{מיזמים|ויקיספר=תורת הבקרה/עקום בודה}}

[[קטגוריה:אלקטרוניקה]]
[[קטגוריה:מערכות בקרה]]