הצגת המקור של הדף "עקומת השטן"

[[קובץ:Devils curve a=0.8 b=1.svg|left|ממוזער|250px|עקומת השטן עם הפרמטרים a=√10/10 ו-b=3×a]]

'''עקומת השטן''' או '''עקומת קרמר''' היא עקומה שטוחה אשר נלמדה לראשונה על ידי ה[[מתמטיקאי]]  ה[[שווייץ|שווייצרי]] [[גבריאל קרמר]]  ב-1750 ואחר-כך ב-1810 על ידי המתמטיקאי ה[[צרפת|צרפתי]] סילבסטר-פרנסוא לקרואה (Sylvestre-François Lacroix). מקור שמה הוא באביזר להטוטנות בשם [[דיאבולו]] אשר צורתו מזכירה את חלקה הסגור של העקומה. ה[[צעצוע]] היה פופולרי בסוף המאה השמונה-עשרה. אף שהעקומה מכונה עקומת השטן, מוצא השם דיאבלו אינו מהמילה הדומה ב[[איטלקית]] diavolo ([[שטן]]). השם של הצעצוע הוטבע על ידי המהנדס הצרפתי [[גוסטב פיליפארט]] שפיתח את הדיאבלו המודרני בתחילת [[המאה ה-20]]. הוא השתמש במילה ה[[יוונית]] dia bolo, שמשמעותה "להעיף מעבר".

==משוואות==
[[קובץ:Devils curve a=0.0-1.0 b=1.svg|left|ממוזער|250px|עקומת השטן עם <math>a</math> מ-0 ל-1 ו-b=1. צבע העקומה נע מכחול לאדום]]
המשוואה ל[[קואורדינטות קוטביות|מערכת צירים קוטבית]] היא: 

<math>r^2 = b^2 + \frac{a^2}{\cos2\theta}\,</math>

<math>\rho(\theta) \, = \, \frac{a^2 \, sin(\theta)^2 \, - \, b^2 \, cos(\theta)^2}{sin(\theta)^2 \, 
- \, cos(\theta)^2} </math>

ב[[מערכת צירים קרטזית]] ניתנת העקומה כ[[פונקציה סתומה]] עם [[משוואה ממעלה רביעית]]:

<math>y^2 (y^2 - a^2) = x^2 (x^2 - b^2)\,</math>

צורה אחרת שלה תהיה:

<math>x^4 - y^4 - (a^2 + b^2) \cdot x^2 - (a^2 - b^2) \cdot y^2 = 0 \,</math>

==חקירת העקומה==
[[קובץ:Duivelscurve.jpg|left|ממוזער|250px|עקומת השטן עם הפרמטרים a=1 ו-b בשלושה ערכים: 0.98 בשחור, 0.70 בחום ו-0.50 באדום]]
ה-X וה-Y השונים מופיעים ב[[תבנית ריבועית]]. העקומה סימטרית לאורך ציר X וציר Y ולכן גם יחסית לראשית הצירים. 

העקומה מתוארת על ידי שני [[פרמטר|פרמטרים]] חופשיים a ו-b. ניתן לצמצם באופן משמעותי את מספר הצירופים ביניהם בלי לאבד ממגוון הצורות הניראות בגרף.
מכיוון שהפרמטרים מופיעים רק בצורתם הריבועית, ניתן להצטמצם לבדיקת המקרים בהם a ו-b הם [[מספרים חיוביים ושליליים|מספרים חיוביים]].
הצורה נקבעת על ידי היחס בין שני הפרמטרים וגדלה ב[[יחס (בין מספרים)|יחס]] לריבועיהם מבלי שצורת העקומה תשתנה. לכן ניתן לבחור a קבוע ו b משתנה מ-0 ל-1.

ניתוח שלוש העקומות המופיעות בדוגמה שמשמאל:
לערכים a=1 ו-b=1 מורכבת העקומה ממעגל ושני ישרים מצטלבים (בגרף הקודם). החל מ-b קטן מ-1 נוצר הדיאבולו המרכזי. הדיאבולו מצטמצם ככל ש-b מתרחק מהערך הגבולי 1. בנוסף קיימים שני מקטעים שהם תמיד [[אסימפטוטה|אסימפטוטיים]] בזווית 45° עם מערכת הצירים.

==דוגמה נוספת==
[[קובץ:Cdd.PNG|left|ממוזער| דוגמה נוספת]]
המשוואה למערכת צירים קרטזית:

<math>y^4-x^4-96 a^2 y^2+100 a^2 x^2=0</math>

המשוואה למערכת צירים קוטבית:

<math>\rho^2=90a^2+4a^2 \frac {cos^2 \omega}{cos(2 \omega)}</math>

האסימפטוטות מופיעות באדום וכיוונן <math>\omega=\pm \frac{\pi}{4}</math> אינו תלוי ב-a. 

==ראו גם==
* [[פונקציית קנטור|פונקציית קנטור או מדרגות השטן]]
* [[למניסקטה]] {{אנ|Lemniscate}}

==קישורים חיצוניים==
{{ויקישיתוף בשורה}}
* {{mathWorld|DevilsCurve|עקומת השטן}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Curves/Devils.html עקומת השטן] באתר [[MacTutor]] {{אנגלית}}
* {{MathWorld}}

[[קטגוריה:עקומות]]

<!-- '''למה כתוב בצרפתית שהעקומה סגורה?''' -->