הצגת המקור של הדף "עקרון האילוץ המינימלי של גאוס"

'''עקרון האילוץ המינימלי''' (ב[[אנגלית]]: Principle of least constraint) הוא ניסוח מסוים של [[מכניקה קלאסית]] שתואר לראשונה במאמר קצר{{הערה|ÜBER EIN NEUES ALLGEMEINES GRUNDGESETZ DER MECHANIK :(C.F Gauss (1829}} מ-1829 של [[קרל פרידריך גאוס]].

עקרון האילוץ המינימלי הוא עקרון [[שיטת הריבועים הפחותים|ריבועים פחותים]] הקובע שהתאוצות האמיתיות של רכיבי מערכת מכנית המורכבת מ-<math>N</math> מסות הן כאלו שממזערות את הגודל:

<math>
Z \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} m_{k} \left| \frac{d^{2} \mathbf{r}_{k}}{dt^{2}} - \frac{\mathbf{F}_{k}}{m_{k}} \right|^{2}
</math>

בעבור כל התאוצות <math>\{\frac{d^{2} \mathbf{r}_{k}}{dt^{2}} \}</math> שמקיימות את האילוצים הכפויים{{הערה|במכניקה, '''אילוץ''' הוא קשר בין קואורדינטות המיקום והתנע של רכיבי מערכת מורכבת. במילים אחרות, אילוץ הוא הגבלה על חופש התנועה של מערכת חלקיקים, והדבר מתבטא בפחות [[דרגות חופש (פיזיקה וכימיה)|דרגות חופש]] למערכת.}}, כאשר <math>m_{k}</math>, <math>\mathbf{r}_{k}</math> ו- <math>\mathbf{F}_{k}</math> מייצגים את המסה, המיקום והכוחות הלא-מאלצים של המסה <math>\mathrm{k^{th}}</math>. שימו לב שאוסף התאוצות המקיימות את האילוצים הכפויים הן באופן כללי תלויות במצב הנוכחי של המערכת, <math>\{(\mathbf{r}_{k}, \frac{d \mathbf{r}_{k}}{dt})\}</math>. את משמעות העיקרון סיכם גאוס בניסוח מילולי אלגנטי{{הערה|Principles of Least Action and of Least Constraint,Ekkehard Ramm (2011) [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/gamm.201110026/pdf]}}:

{{ציטוט|"התנועה של מערכת של נקודות חומריות מתרחשת בכל רגע נתון בהתאמה מרבית עם תנועה חופשית או תחת אילוץ מינימלי, כאשר האילוץ מוגדר כסכום מכפלות המסות בריבועי הסטיות שלהן מתנועה חופשית".}}

גאוס סיים את מאמרו בהדגש משמעותי{{הערה|(2011) Principles of Least Action and of Least Constraint,Ekkehard Ramm [http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/gamm.201110026/pdf]}}, בו מתח [[אנלוגיה]] בין העיקרון החדש שלו ל[[שיטת הריבועים הפחותים]]; דהיינו האנלוגיה בין חוקי הטבע ועבודתו של המתמטיקאי המחשב. 

העיקרון של גאוס מקביל ל[[עקרון ד'אלמבר]]. 

עקרון האילוץ המינימלי דומה באופן איכותי ל[[עקרון הפעולה המינימלית|עקרון המילטון]], אשר קובע שהמסלול האמיתי של מערכת ב[[מרחב המצב|מרחב המצבים]] הוא האקסטרמום של ה[[פעולה (פיזיקה)|פעולה]].

== הסבר ==
הבעיות אליהן העיקרון מתייחס נוגעות ל'''דינמיקה עם אילוצים''' (constrained dynamics). כלומר, במקרה הכללי ביותר שלהן ישנן מספר מסות הנתונות להשפעת כוחות חיצוניים, כשמסות אלו נתונות לאילוצים על המצב שלהן; למשל, משקולתה של [[מטוטלת]] תיטה ליפול ישירות מטה ב[[תאוצת הכובד]] ''g'', אולם תנועתה מוגבלת לקשת מעגל על ידי חוט המטוטלת - כך שעל פי העיקרון, תאוצתה תהיה הקרובה ביותר האפשרית לזו של [[נפילה חופשית]], זאת בעוד היא עדיין תימצא במרחק קבוע מציר המטוטלת.  

=== מינוח ===
* '''קונפיגורציה של מערכת''' היא מצב אפשרי שלה ב[[מרחב פאזה|מרחב המצבים]] - בעבור N מסות ב[[מרחב תלת-ממדי]] ללא אילוצים, מדובר באוסף של ''3N'' קואורדינטות מיקום ו-''3N'' קואורדינטות תנע. ב'''מצב''' המערכת הכוונה היא לווקטור המצב <math>(X,\dot X)</math>, כאשר ''X'' מייצג את המיקומים ו-<math>\dot X</math> מייצג את המהירויות.
* ''מערכת מאולצת'' היא מערכת בה וקטור המיקומים ''X'' חייב להימצא על [[יריעה]] המשוכנת במרחב ה-''3N'' ממדי. ב''כוחות אילוץ'' הכוונה היא לכוחות שאינם מבצעים [[עבודה (פיזיקה)|עבודה מכנית]] על המערכת במהלך התפתחותה. אם נסמן ב- <math>T_X</math> את אוסף המהירויות האפשריות של המערכת עבור ווקטור מיקומים נתון ''X'', אז בניסוח מתמטי פירוש התנאי הוא שאוסף הכוחות המאלצים הוא [[אורתוגונליות|אורתוגונלי]] ל-<math>T_X</math> (כלומר <math>T_X</math> ו[[מרחב וקטורי|המרחב הווקטורי]] הנפרש על ידי הכוחות המאלצים הם תת-מרחבים ניצבים). שימו לב גם ש-<math>T_X</math> הוא ה[[מרחב משיק|מרחב המשיק]] ליריעה בכל נקודה.
* הבעיה המרכזית היא: בהינתן יריעת האילוצים והמצב הנוכחי <math>(X,\dot X)</math> של המערכת, למצוא את וקטור התאוצות <math>\ddot X</math>. מציאתו מאפשרת לקבוע את המסלול במרחב המצבים
<math>X(t)</math>. ניסוח בעיה זו הוא האנלוג של [[החוק השני של ניוטון]] <math>F = ma</math> - הוא מתאר את ההתפתחות המקומית של המערכת.

מכיוון ש-<math>\frac{d^{2}\mathbf{r}_{k}}{dt^{2}}=\frac{F_k+C_k}{m_k}</math>, כאשר <math>C_k</math> הוא הכוח המאלץ הפועל על החלקיק ה-''k'', העיקרון למעשה קובע שתנועת המערכת ממזערת את הגודל:
:<math>
Z \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \sum_{k=1}^{N} C_k^{2}
</math>

כלומר שהתנועה ממזערת את האינטראקציה הכוללת בין החלקיקים ליריעה עליה הם מאולצים לנוע, כאשר האינטראקציה הכוללת נמדדת כסכום ריבועי הכוחות המאלצים הפועלים על החלקיקים; זוהי על כן הסיבה לבחירת שמו של העיקרון כ-"עקרון האילוץ המינימלי".   

=== פרשנות ===
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}
הפיזיקאי [[היינריך רודולף הרץ|היינריך הרץ]] פירש את העיקרון של גאוס בכלים מתמטיים מ[[גאומטריה דיפרנציאלית]], תוך מתן ניסוח וריאציוני ייחודי נוסף למכניקה הקלאסית - '''עקרון העקמומיות המינימלית של הרץ'''
(Hertz's principle of least curvature). הרץ פירש את [[תבנית ריבועית|התבנית הריבועית]] מהעיקרון, אשר יש להביא ערכה למינימום, כמדד ל[[עקמומיות גיאודזית|עקמומיות הגאודזית]] של מסלול וקטור המצב של המערכת ביחס ליריעת האילוצים. כאשר לא פועלים על המערכת כוחות חיצוניים (פרט לכוחות המאלצים), העקמומיות הגיאודזית מתאפסת, ומסלולי המערכת יהיו [[מסילה גאודזית|מסילות גאודזיות]] של היריעה. 

=== דוגמאות ===
==== חלקיק חופשי הנע על גבי משטח עקום ====
הכוח הכולל הפועל על חלקיק יחיד במערכת מכנית כלשהו הוא השקול של סכום הכוחות הלא מאלצים הפועלים עליו, שנסמנו <math>F</math>, והכוח המאלץ <math>C</math>. למשל, עבור חלקיק הנופל בהשפעת שדה כובד תוך שהוא מאולץ לנוע על משטח חסר [[חיכוך]] מסוים, הכוח הלא מאלץ הפועל עליו הוא כוח הכובד (החיצוני למערכת) והכוח המאלץ הפועל עליו הוא הכוח הנורמלי שמפעילה עליו היריעה הדו-ממדית (המשטח) עליה הוא נע. 

נתייחס כעת למקרה של [[חלקיק חופשי]], כלומר חלקיק הנע במהירות קבועה ''v'' על משטח בהיעדר כוח חיצוני לא מאלץ. במקרה זה עקרון האילוץ המינימלי קובע שהחלקיק ינוע בין נקודה ''A'' לנקודה ''B'' על המשטח במסלול אקסטרמלי כזה שימזער את הגודל:
:<math> \int_{A}^{B}|\frac{d^{2} \mathbf{r}}{dt^{2}} - \frac{F}{m}|^2 ds=\int_{A}^{B}|\frac{C+F}{m} - \frac{F}{m}|^2 ds =\int_{A}^{B}(\frac{C}{m})^2 ds   </math> 

מכיוון שמסת החלקיק ומהירותו קבועים, בעוד ש[[עקמומיות]] המסלול של החלקיק, שנסמנה <math>\kappa</math>, נקבעת על פי מהירותו ותאוצתו (בהתאם לקשר:<math>\frac{C}{m}=\kappa v^2</math>), העיקרון קובע למעשה שיש למזער את הגודל:

:<math>\int_{A}^{B}\kappa^2(s)ds</math>

אם ניעזר כעת בקשר שבין העקמומיות של מסלול במרחב, העקמומיות הנורמלית של המשטח בכיוון מסוים והעקמומיות הגאודזית של מסלול ביחס למשטח, דהיינו <math>\kappa^2 = \kappa_n^2+\kappa_g^2</math>, אז נקבל שמכך שהעקמומיות הנורמלית היא תכונה של המשטח (כמו גם של כיוון התנועה ההתחלתי הניתן לחלקיק) אז הדרך היחידה של מסלול החלקיק למזער את האינטגרל לעיל היא לנוע במסלול כזה שיאפס כל הזמן את העקמומיות הגאודזית; מתקיים תמיד <math>\kappa\ge \kappa_n</math> כאשר השוויון מתקבל עבור מסלולים שהם מסילות גאודזיות (עבורם העקמומיות הגאודזית מתאפסת בכל נקודה). 

לפיכך עקרון האילוץ המינימלי קובע שבמקרה זה, החלקיק ינוע בין ''A'' ל-''B'' במסלול שהוא קו גיאודזי של המשטח; דוגמה זו ממחישה כיצד עקרון האילוץ המינימלי שקול למושגים ורעיונות מסוימים מגאומטריה דיפרנציאלית. 
==== מטוטלת כפולה ====
{{להשלים|נושא=מדעי הטבע}}

== ראו גם ==
* [[עקרון ד'אלמבר]]

==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}


[[קטגוריה:מכניקה]]
[[קטגוריה:משפטים פיזיקליים]]
[[קטגוריה:קרל פרידריך גאוס]]