הצגת המקור של הדף "ערך בנזף"

'''ערך בנזף''' או '''מדד הכוח של בנזף''' (ב[[אנגלית]]: '''Banzhaf power index''') הוא מושג ב[[תורת המשחקים]], המנסה לתת מדד ל'''כוחו''' של שחקן ב[[משחק פשוט]].

==הגדרה פורמלית==
'''משחק פשוט''' הוא סוג של [[משחק שיתופי]] בצורה קואליציונית <math>\left( N;v \right)</math> בו שוויה של קואליציה הוא תמיד 0 או 1. אם הערך הוא 1 נאמר שזו קואליציה מנצחת ואם הוא 0 נאמר שזו קואליציה מפסידה. משחק<math>\left( N;v \right)</math> נקרא '''מונוטוני''' אם לכל שתי קואליציות S ו- T, המקיימות <math>S \subseteq T</math>, מתקיים <math>v(S)\le v(T)</math>.

עבור משחק פשוט מונוטוני <math>\left( N;v \right)</math>, המקיים <math>v(N)=1\,\!</math>, ועבור שחקן <math>i</math> כלשהו, נגדיר את הערך <math>B_i(N;v)\,\!</math> כמספר הקואליציות <math>S</math> המקיימות <math>v(S)=0\,\!</math> וכן <math>v(S \cup \{i\})=1</math>. כלומר, <math>B_i(N;v)\,\!</math> הוא מספר הקואליציות ששחקן <math>i</math> בהצטרפותו אליהן מעביר אותן ממפסידות למנצחות (במקרה זה נאמר כי <math>i</math> הוא שחקן ציר).

נגדיר את '''ערך בנזף''' של שחקן i במשחק <math>\left( N;v \right)</math> להיות:

<math>BZ_i=\frac {B_i(N;v)} {\sum_{j\in N} B_j(N;v)}</math>

===המשמעות ההסתברותית של ערך בנזף===
נניח כי כל שחקן בוחר באקראי ובאופן בלתי תלוי בחבריו כיצד להצביע.
נצטמצם למרחב הסתברותי בו החלטה עוברת על חודו של קול. כלומר, רק על ידי קואליציות מנצחות מינימליות בגודלן.

אם מספר הקואליציות המנצחות '''המינימליות''' הוא <math>k\,\!</math>, ושחקן <math>i\,\!</math> הוא שחקן ציר ב- <math>B_i\,\!</math> מתוכן, אז ההסתברות שיהיה שחקן ציר היא בדיוק <math>\frac {B_i}{k}</math>.

ערכי בנזף מתקבלים מהנרמול של סכום ההסתברויות <math>\sum_{j\in N} \frac {B_j} {k}</math> ל-1.

ואכן: מ- <math>\alpha\sum_{j\in N} \frac {B_j} {k}=1</math> נקבל:

<math>\alpha=\frac {k}{\sum_{j\in N} B_j}</math>,

ואז, הגודל <math>\alpha\cdot \frac {B_i}{k}</math> הוא בדיוק <math>BZ_i\,\!</math>.

לכן, ערך בנזף הוא '''גודל השוואתי'''. כלומר, ניתן לומר שאם ערך בנזף של שחקן 1 גדול פי b מזה של שחקן 2, אזי הסיכוי ששחקן 1 יהיה שחקן ציר גדול פי b מהסיכוי ששחקן 2 יהיה שחקן ציר.

==דוגמה==
נתבונן במשחק פשוט של ועדה בת 4 חברים הנדרשת להעביר החלטה כלשהי. לחבר A יש 4 קולות, לחבר B - שלושה קולות, לחבר C - שני קולות, ולחבר D יש קול אחד. כדי להעביר החלטה, יש צורך במינימום של 6 קולות. לכן, לחישוב ערכי בנזף של השחקנים, נתבונן ברשימת הקואליצות המנצחות כששחקני הציר בכל קואליציה מודגשים:

 <center>'''AB''', '''AC''', '''A'''BC, '''AB'''D, '''AC'''D, '''BCD''', ABCD</center>

לכן, סך כל האפשרויות בהן שחקן כלשהו יהיה שחקן ציר הוא 12, וזהו שווי המכנה בערך בנזף.

ולבסוף:

שחקן A הוא שחקן ציר 5 פעמים, ולכן

<math>BZ_A=\frac {B_A(N;v)} {\sum_{j\in N} B_j(N;v)}=\frac {5} {12}</math>

באופן דומה:

<math>BZ_B=\frac {3} {12}</math>

<math>BZ_C=\frac {3} {12}</math>

<math>BZ_D=\frac {1} {12}</math>

==היסטוריה==
המושג המוכר כיום כמדד הכוח של בנזף, הוצג עוד ב-1946 במאמר מאת ה[[גנטיקה|גנטיקאי]] והמתמטיקאי [[ליונל פנרוז]]{{הערה|.Penrose, Lionel (1946), "The Elementary Statistics of Majority Voting", Journal of the Royal Statistical Society  109 (1): 53–57,}} (אביו של [[רוג'ר פנרוז]]) אשר לא זכה לתשומת לב רבה.

הוא הומצא בשנית על ידי [[ ג'ון בנזף השלישי]] ב-1965{{הערה|Banzhaf, John F. (1965), "Weighted voting doesn't work: A mathematical analysis", Rutgers Law Review 19 (2): 317–343|כיוון=שמאל}}.
בנזף היה משפטן ורצה להראות בצורה אובייקטיבית כי שיטת ההצבעות במועצת מחוז נאסאו ב[[לונג איילנד]] אינה הוגנת. במועצת המחוז ההצבעות היו ממושקלות, כשלנציגי אזורים שונים היה משקל שונה.
חלוקת משקלי הקולות הייתה כלדקמן:
*המפסטד #1: 9
*המפסטד #2: 9
*צפון המפסטד: 7
*אוייסטר ביי: 3
*גלן קוב: 1
*לונג ביצ': 1

כלומר המשקל הכולל של הקולות הוא 30 וכדי להעביר החלטה היה צורך במינימום של משקל 16.

בחישוב מדד בנזף במקרה זה יש סך הכל 48 מקרים של שחקן ציר, ותוצאות מדד בנזף היו:
*המפסטד #1: 16/48
*המפסטד #2: 16/48
*צפון המפסטד: 16/48
*אוייסטר ביי: 0
*גלן קוב: 0
*לונג ביצ': 0

כלומר, ההסתברות ששלושת האזורים האחרונים יוכלו להיות שחקני ציר היא 0.
בנזף טען שמתן 0% השפעה על פי המדד המוצע ל-3 אזורים אינו הוגן.

מאז עבודתו של בנזף המדד הנושא את שמו בנזף משמש מדד מקובל למדידת כוח הצבעה, לצד [[מדד הכוח של שפלי ושוביק]]. כך, למשל, בנזף עצמו טען ב-1968 כי בשיטת הבחירה של [[נשיא ארצות הברית]] באמצעות [[חבר האלקטורים]] יש עדיפות לבוחרים ממדינות גדולות.
עם זאת, מדד בנזף ספג ביקורת על התייחסותו להחלטות המצביעים כהחלטות אקראיות, וניסויים אמפיריים הראו תוצאות שאינן עקביות עם המדד{{הערה|Andrew Gelman, Jonathan N. Katz, and Francis Tuerlinckx, The mathematics and statistics of voting power,   Statist. Sci. Volume 17, Issue 4 (2002), 420-435|כיוון=שמאל}}.

==ראו גם==
* [[מדד הכוח של שפלי ושוביק]]

== לקריאה נוספת ==
*{{צ-ספר|מחבר=שמואל זמיר, [[מיכאל משלר]], [[אילון סולן]]|שם=תורת המשחקים|מו"ל=[[הוצאת מאגנס|מאגנס]]|שנת הוצאה=2008|מקום הוצאה=ירושלים|ISBN=9654932946}}
==קישורים חיצוניים==
{{מיזמים|ויקימילון=ערך בנזף}}
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=ימין}}

[[קטגוריה:תורת המשחקים]]

[[de:Machtindex#Banzhaf-Index]]