הצגת המקור של הדף "ערך עצמי"

{{פירוש נוסף|נוכחי=מושג מתמטי|אחר=מושג מתחום הפסיכולוגיה|ראו=[[הערכה עצמית]]}}
ב[[אלגברה ליניארית]], '''ערך עצמי''' (eigenvalue) של [[העתקה ליניארית]] או של [[מטריצה]] הוא [[סקלר (מתמטיקה)|סקלר]] כלשהו, המסומן לרוב כ-<math>\lambda</math>, כך שקיים [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] שונה מווקטור האפס (הנקרא '''וקטור עצמי''') שהפעלת ההעתקה עליו, או הכפלתו במטריצה, מכפילה אותו באותו סקלר. במילים אחרות, וקטור עצמי של העתקה או מטריצה הוא וקטור שעבורו ההעתקה או המטריצה מתנהגים כמו סקלר. אינטואיטיבית, השפעת ההעתקה על וקטור עצמי היא "כיווץ" או "מתיחה" של הווקטור, מבלי ש"תזיז" או "תעקם" אותו.

בשל [[מטריצה#מטריצה כייצוג של העתקה ליניארית|הקשר ההדוק בין מטריצות והעתקות]], שמאפשר להביט עליהן כעל שני ייצוגים של אותו הדבר, מושג הערך העצמי זהה עבור שתיהן.

==הגדרה פורמלית==
יהי <math>V</math> [[מרחב וקטורי]] ותהא <math>T \colon V \to V</math> [[העתקה ליניארית]].
אם קיים וקטור <math>v \in V</math> השונה מאפס וסקלר <math>\lambda</math> כך ש-<math>T(v)=\lambda v</math>, אזי נקרא ל־<math>\lambda</math> '''ערך עצמי''' (eigenvalue) של <math>T</math>, ול־<math>v</math> נקרא '''וקטור עצמי''' (eigenvector) של <math>T</math> '''השייך''' לערך העצמי <math>\lambda</math>.

בהתאם, מוגדרים גם ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים של מטריצות:

תהי <math>A</math> [[מטריצה ריבועית]] מסדר <math>n</math> מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] <math>\mathbb{F}</math> ויהי <math>v \in \mathbb{F}^n</math> וקטור השונה מאפס.

אם קיים סקלר <math>\lambda\isin\mathbb F</math> כך ש-<math>Av=\lambda v</math>, אז <math>v</math> יקרא וקטור עצמי של <math>A</math> השייך לערך העצמי <math>\lambda</math>.

==וקטור עצמי ומרחב עצמי==
עבור מטריצה <math>A</math> אשר מוכפלת בווקטור <math>v</math>, אם התוצאה היא אותו הווקטור (<math>v</math>), רק מוכפל בסקלר דהיינו <math>Av=\lambda v</math>, כפי שתואר לעיל, ניתן לכנות את הווקטור וקטור עצמי של המטריצה <math>A</math>, ואת <math>\lambda</math> ערך עצמי של המטריצה. על מנת למצוא את הווקטורים העצמיים המתאימים לסקלר <math>\lambda</math>, ניתן לבטא את <math>\lambda</math> בצורה מטריציונית באמצעות הכפלתו במטריצת היחידה <math>I</math> כך שהשוויון נשמר: <math>Av=\lambda I v</math>.  העברת אגפים וקיבוץ הגורמים המוכפלים ב-<math>v</math> מובילים למשוואה הבאה: <math> \left( A - \lambda I \right) v = \boldsymbol{0} </math>, אשר מייצגת [[משוואה ליניארית|מערכת משוואות]] הומוגנית. פתרון המערכת הזו תוביל למציאת הערכים העצמיים של <math>A</math>, אם קיימים. למשוואה זו יהיה פתרון שאינו טריוויאלי (כלומר, <math>v \neq \boldsymbol{0}</math>) [[אם ורק אם]] ה[[דטרמיננטה]] של אגף שמאל תהיה שווה לאפס <math> \det(A - \lambda I)=\boldsymbol{0} </math>.   

אוסף הפתרונות נקרא "המרחב העצמי" של <math>\lambda</math>, והוא תמיד מרחב וקטורי. אם יש פתרונות לא טריוויאליים, אז <math>\,\lambda</math> הוא "ערך עצמי", ובמקרה זה [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממדו]] של המרחב קרוי '''הריבוי הגאומטרי''' של הסקלר (ראו [[#ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי|להלן]]).  

וקטורים עצמיים של ערכים עצמיים שונים הם בלתי-תלויים ליניארית זה בזה.

לעיתים קרובות, משתמשים בקיצור ו"ע עבור "וקטור עצמי", וכן בקיצור ע"ע עבור "ערך עצמי".

==ריבוי אלגברי וריבוי גאומטרי==
מאפיינים חשובים של ערך עצמי הם הריבוי האלגברי והריבוי הגאומטרי שלו. '''הריבוי האלגברי''' (או '''הריבוב האלגברי''') הוא מספר הופעותיו של הערך העצמי כ[[שורש (של פונקציה)|שורש]] של [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]]; '''הריבוי הגאומטרי''' (או '''הריבוב הגאומטרי''') הוא מספר ה[[וקטור עצמי|ווקטורים העצמיים]] הבלתי-תלויים השייכים לערך העצמי, שהוא, למעשה, [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] ה[[מרחב עצמי|מרחב העצמי]] של הערך העצמי או [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] [[מרחב הפתרונות]] של המשוואה <math> \left( A - \lambda I \right) v = 0 </math>. הריבוי האלגברי תמיד גדול או שווה לריבוי הגאומטרי. אם הפולינום האופייני מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה אזי סכום הריבויים האלגבריים שווה לסדר המטריצה.

מטריצה ניתנת ל[[לכסון מטריצות|לכסון]] [[אם ורק אם]] הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים ליניאריים מעל השדה, והריבוי האלגברי של כל ערך עצמי שלה שווה לריבוי הגאומטרי שלו. בפרט, אם כל הערכים העצמיים שונים זה מזה, המטריצה לכסינה.

==מציאת ערכים עצמיים==
ערכים עצמיים מסייעים להצגת העתקות ומטריצות בצורות פשוטות יותר, ועל כן יש למציאתם חשיבות. בפרט, מציאת ערכים עצמיים הכרחית בתהליכי [[לכסון מטריצות]].

ישנן מספר שיטות למציאת ערכים עצמיים, והן תלויות בסוג המטריצה שאת ערכיה העצמיים מחפשים.
* השיטה התאורטית הנפוצה ביותר היא באמצעות [[פולינום אופייני|הפולינום האופייני]] של המטריצה, שכן הערכים העצמיים הם [[שורש (של פונקציה)|שורשיו]].
* שיטה להערכה של הערכים העצמיים מבלי למצוא אותם במדויק נתונה על ידי [[עיגולי גרשגורן]].

הערכים העצמיים של [[מטריצה אלכסונית]] הם איברי האלכסון הראשי שלה, ווקטורי [[הבסיס הסטנדרטי]] הם וקטורים עצמיים שלה.
* למטריצות [[דמיון מטריצות|דומות]] יש את אותו פולינום אופייני ולכן בהכרח גם אותם ערכים עצמיים עם אותם ריבוי אלגברי וגאומטרי.
* סכום הערכים העצמיים של מטריצה שווה ל[[עקבה (אלגברה)|עקבה]] שלה.
* מכפלת הערכים העצמיים של מטריצה שווה ל[[דטרמיננטה]] שלה.

===שיטות נומריות===
עבור מטריצות מסדר גבוה הפולינום האופייני עשוי להיות מ[[משוואה ממעלה חמישית|מעלה חמישית ויותר]]. [[נילס הנריק אבל]] ו[[פאולו רופיני]] הראו כי לא קיים פתרון אלגברי כללי למשוואות כאלו (ראו [[היסטוריה של פתרון משוואות פולינומיות]]), ולכן במקרים כאלו נהוג להשתמש ב[[אנליזה נומרית|שיטות נומריות]] המבוססות על [[שיטה איטרטיבית|שיטות איטרטיביות]]. שיטות אלה מחשבות קירוב לערכים העצמיים ולוקטורים העצמיים, אבל הקירוב יכול להיות בכל דיוק רצוי. אחת השיטות הנומריות הראשונות שהוצעו למציאת ערכים עצמאיים היא [[אלגוריתם QR]].

{| class="wikitable"
|+ אלגוריתמים נפוצים למציאת ערכים עצמיים
|-
! אלגוריתם !! קלט !! פלט !! תיאור|| שלב אתחול || שלב עדכון
|-
| [[שיטת החזקה]] || מטריצה כללית || הערך העצמי הגדול והווקטור העצמי המתאים לו || מתחילים מווקטור שרירותי, שאותו מכפילים במטריצה ומנרמלים עד להתכנסות. || <math display="inline">b_0</math> שרירותי || <math display="inline"> b_{k+1} = \frac{Ab_k}{\|Ab_k\|} </math>
|-
|[[שיטת החזקה ההפוכה]]
|מטריצה כללית ומספר <math display="inline">\lambda</math> (קירוב לערך העצמי המבוקש)
|הערך העצמי הקרוב ביותר ל<math display="inline">\lambda</math> ואת הווקטור העצמי המתאים לו
|מפעילים את שיטת החזקה על <math display="inline">(A-\lambda I)^{-1}</math>
|
|
|-
| [[אלגוריתם QR]]{{הערה|
J.G.F. Francis, "The QR Transformation, I", ''The Computer Journal'', vol. 4, no. 3, pages 265-271 (1961, received Oct 1959) [http://comjnl.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/4/3/265 online at oxfordjournals.org];<br />
J.G.F. Francis, "The QR Transformation, II" ''The Computer Journal'', vol. 4, no. 4, pages 332-345 (1962) [http://comjnl.oxfordjournals.org/cgi/content/abstract/4/4/332 online at oxfordjournals.org].<br />
Vera N. Kublanovskaya, "On some algorithms for the solution of the complete eigenvalue problem," ''USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics'', vol. 1, no. 3, pages 637–657 (1963, received Feb 1961). Also published in: ''Zhurnal Vychislitel'noi Matematiki i Matematicheskoi Fiziki'', vol.1, no. 4, pages 555–570 (1961).}}
| מטריצה כללית (יעיל יותר על [[מטריצת הסנברג]]) || כל הערכים והווקטורים העצמיים
| מבוסס על איטרציות שבכל שלב מוצאים [[פירוק QR]] של <math display="inline">A_k=Q_k R_k</math> ({{כ}}<math display="inline">Q_k</math> היא [[מטריצה אורתוגונלית]] ו-<math display="inline">R_k</math> היא [[מטריצה משולשית]] עליונה). תחת תנאים מסוימים מתכנסים ל[[פירוק שור]] והערכים העצמיים מצויים על האלכסון של המטריצה המשולשית.
| <math display="inline">A=Q_1 R_1</math>
| <math display="inline">A_{k+1}=R_k Q_k</math>
|-
| [[איטרציות יעקובי למציאת ערכים עצמיים|איטרציות יעקובי]] || מטריצה סימטרית ממשית || כל הערכים והווקטורים העצמיים || בכל איטרציה [[מטריצות צמודות|מצמידים]] את המטריצה ב[[מטריצה אוניטרית]] כך שסכום רבועי האיברים שמחוץ לאלכסון יקטן, וכך [[ליכסון מטריצות|מלכסנים]] את המטריצה
|-
|[[אלגוריתם לנצוש]]
|[[מטריצה סימטרית]] או [[מטריצה הרמיטית]] ומספר האטרציות
|חלק מהערכים העצמיים
|
|-
|[[אלגוריתם ארנולדי]]
|מטריצה כללית ומספר האטרציות
|חלק מהערכים העצמיים
|מקבילה של [[אלגוריתם לנצוש]] למטריצה כללית
|}

==ספקטרום==
{{הפניה לערך מורחב|ספקטרום של אופרטור}}
עבור [[אופרטור]]ים (המכלילים את מושג המטריצה, המוגבלת למרחב בעל [[ממד (אלגברה ליניארית)|ממד]] סופי) קיימת הכללה למושג "הערך העצמי". הכללה זו היא קבוצת כל הנקודות <math>t</math> בהן לא קיים אופרטור הפיך וחסום ל־<math>\ A-tI</math>. קבוצה זו נקראת [[ספקטרום של אופרטור]] ותכונותיה נלמדות במסגרת ה[[אנליזה פונקציונלית|אנליזה הפונקציונלית]].

==ראו גם==
* [[לכסון מטריצות]]
* [[משפט קיילי המילטון]]
* [[פולינום אופייני]]
* [[פולינום מינימלי]]
* [[צורת ז'ורדן]]
* [[משפט פרון-פרובניוס]]

==קישורים חיצוניים==
* [http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/engl_eigenwert.htm מחשבון ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים] {{גרמנית}}
==הערות שוליים==
{{הערות שוליים|יישור=שמאל}}

{{אלגברה ליניארית}}

{{בקרת זהויות}}

[[קטגוריה:אלגברה ליניארית]]